信号与系统第5章-连续系统的复频域分析.ppt

t0时，若σtσ0t 应取左半圆弧 t0，若σtσ0t应取右半圆弧 若为0 则 约当引理： 1、当∣s∣=R→∞时，∣F(s)∣→0 2、因子est中指数st的实部σt应满足σtσ0t，σ0为大于σc的某一常数。 F(s)为真分式即可 单边拉普拉斯变换t0，所以积分路径取左半圆弧 小结： 1、拉普拉斯变换中的被积函数为F(s)est，显然F(s)的 极点就是F(s)est的极点。 2、对于单边拉普拉斯变换，F(s)的收敛域在收敛轴 的右边，因而积分路径取左半圆弧。 3、左半圆弧的半径取无穷大，则围线中包含了F(s) 也是F(s)est的所有极点。 4、根据约当引理，F(s)拉普拉斯反变换就等于 F(s)est的所有极点上的留数之和。 F(s)极点的留数的求法： 先化为真分式 §4.4 线性系统的s域分析 一、由微分方程的拉普拉斯变换求解系统 全响应的拉普拉斯变换 自动计入初始条件直接求得全响应 解代数方程 例：已知一个二阶系统的微分方程为： 方程两边取拉普拉斯变换： 求全响应 解： 代入初始条件并整理得： 依据两个方面的约束： 二、由电路的S域模型求解系统 1、元件的伏安特性 2、电路的基本定律(KVL,KCL) 例1：电路如图所示，求回路电流i1(t)。 解： 画原电路的S域模型： 列方程 求回路电流i1(t)，要求分零输入和零状态求。 解：画s域模型： 例: 1、先求零输入响应，将电路中的激励短路列回路方程： 2、求零状态响应，将电路中的等效电源短 路，列 回路方程： 全响应 三、由系统函数H(s)求解系统 系统函数H(s)的求法： 1).由h(t)求: 2).由微分方程求: 3).由S域模型求: 方程两边取拉氏变换，所有初始 条件为零 微分算子H(p)与 H(s)、 H(jw)的关系： 已知系统的微分方程 例： e(t) i(t) 例2-3： 求RC电路的冲激响应h(t)。 激励为e(t)，响应为i(t)， 解： 特征根=自然频率=系统函数的极点 2.求零输入响应 系统的特征根 （自然频率） (系统函数H(s)的极点) 2.求零输入响应 2).根据极点的阶数写出零输入响应的形式 3).由初始条件求待定系数 1).由H(s)求其极点 由H(s)求 的步骤： (单根) (k重根) * 结论： 周期为T的有始周期函数 ，其拉普拉斯变换为 为 第一个周期的普拉斯变换 4、复频域平移 若： 例如：由 可得： 又如： 5、时域微分 若： 证明： 本性质可推广到n阶导数，即： 说明：这里的 是指函数 及其各阶导数在 时刻的值，如果都取 时刻的系统称为 系统。 及其它的各阶导数在 和 它们的拉普拉斯变换不同 本书采用 系统 的值不同时， 例： ，求： 和 系统下， 的拉普拉斯变换。 解： 系统： 系统： 6、时域积分 本性质也可推广到多重积分 则： 区间为 如积分 7、复频域微分与积分 8、对参变量的微分与积分 1、使用微分性质： 2、使用参变量微分性质： 9、初值定理： 若函数 及导数 存在，且 则 的初值 如果f(t)在t=0处有冲激及其导数存在，则F(s) 为假分式，可分解为s的多项式与真分式之和： 注意： 10、终值定理 若函数f(t)及其导数 存在拉普拉斯变换，且F(s) 的极点都位于s平面的左半平面或在原点处有一个单阶极点。 则f(t)的终值 证明：前面已证 解： 例1： 解： 例2： 11、卷积定理 证明：时域 频域 §4.3 拉普拉斯反变换 已知 求 求反变换 1.部分分式展开法 2.留数法（围线积分法） 一、部分分式展开法 若象函数 为有理分式： 为正整数 为实数 时 为真分式 i) 若 有n个单阶极点 则 例1： 已知： 解： 分析：F(s)为假分式，先化为真分式 解： 例2： 若F(s)分母中的二次式有一对共轭复根，则在部分分式展开时可把它们作为整体来处理。 解： 解一： 用待定系数法确定： 例4： 两边同乘 ： 得： 解二: 例4： ii)若F(s) 有一个p阶极点s1，另有n-p个单极点sp+1， ... sn。 则： 例5： 二、留数法（围线积分法） 表示复变函数g(s)沿s平面中不经过极点的闭合路径c的积分（积分方向为反时针方向），可由g(s)在围线内极点上的留数来确定。 复变函数中的围线积分 对照拉普拉斯反变换公式： 可见拉普拉斯反变换也是一个复变函数的积分问题，被积函数为F(s)est， 积分路径为σ-j∞→σ+j∞不是围线，为此我们补充一个半径为无穷大的半圆使它成为一个闭