全等三角形(最全面的资料).doc

第三章 全等三角形 专题二、全等三角形的判定 知识点： 三角形全等的条件： 三边对应相等的两个三角形全等（可写成“边边边”或“SSS”） 如图：在△ABC和△A’B’C’中，AB= A’B’，BC＝B’C’，AC＝A’C’，可以判定△ABC≌△A’B’C’。 2.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）如图： 如图：在△ABC和△A’B’C’中，AB= A’B’,ABC=A’B’C’,BC＝B’C’，可以判定△ABC≌△A’B’C’。 3.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”） 如图：在△ABC和△A’B’C’中，B=B’，BC＝B’C’， C=C’可以判定△ABC≌△A’B’C’。 角边角（ASA）公理推论：有两个角和一角所对边对应相等的两个三角形全等。（简称为“角边角”或“ASA”）。 如图：在△ABC和△A’B’C’中，B=B’， C=C’，AC=A’C’。可以判定△ABC≌△A’B’C’。 5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边，直角边”或“HL”） 如图：在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，B=B’＝90，AB=A’B’，AC=A’C’。可以判定△ABC≌△A’B’C’。 补充：1、中30度所对的直角边等于斜边的一般。 2、斜边上的中线等于斜边的一半。 典型例题： 1.已知两边 例1.如图所示，AD=AE，点D、E在BC上，BD=CE，∠1=∠2。试说明△ABD≌△ACE。 变式练习： 1.如图，已知AF=AE，AC=AD，CF与DE交于点B。求证：△ACF≌△ADE。 2.如图，AC=BD，AB=DC，求证：∠B=∠C。 3.如图，A、E、F、B四点在一条直线上，AC⊥CE，BD⊥DF，AE=BF，AC=BD，求证：CF=DE。 能力提升： 1.如图所示，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠EAD=，连接BD、CE. （1）求证：BD=CE； （2）观察图形，猜想BD和CE之间的位置关系，并证明你的结论。 2. 已知如图：BE、CF是△ABC中AC、AB上的高，在射线BE上截取BP=AC，在射线CF上截取CQ=AB。求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ。 2.已知一边一角 例2.如图所示，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C。试说明△ABF≌△DCE。 变式练习： 1.已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E。求证：BC=ED。 2.如图，点A、B、D、E在同一直线上，AD=EB，BC∥DF，∠C=∠F。求证：AC=EF。 3.如图4，已知AB＝AC，AD＝AG，AE⊥BG交BG的延长线于E，AF⊥CD交CD的延长线于F。求证：AE＝AF 能力提升： 1. 如图：已知在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC。AE是过点A的直线，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E，求证：BD=CE+DE。 2. 如图①所示，在正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连结PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足为点E、F。 （1）请探索BE、DF、EF这三条线段有怎样的数量关系。若P在DC的延长线上（如图②），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD的延长线上呢（如图③）？请分别直接写出结论； （2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明。 ② ③ 3. 如图①所示在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A点的一条直线，且B点和C点在AE的异侧，BD⊥AE于D点，CE⊥AE于E点。 （1）求证：BD=DE+CE； （2）若直线AE绕点A旋转到图②所示的位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请予以证明； （3）若直线AE绕点A旋转到如图③所示位置时（BD＞CE），其余条件不变，BD与DE、CE的关系如何？直接写出结果，不需证明； （4）归纳前三小题，用简捷的语言表述BD、DE、CE之间的关系。 ② ③ 3.已知两角 例3.如图所示，AB、CD交于点O，E、F为AB上两点，OA=OB，OE=OF，∠A=∠B，∠ACE=∠BDF，试说明△ACE≌△BDF。 变式练习： 1.如图2，已知点A、B、C、D在同一直线上，AC＝BD，AM∥CN，BM∥DN。 求证：AM＝