单个总体的区间估计.ppt

第七章第四节 正态总体的区间估计 （一） 引言 前面，我们讨论了参数点估计. 它是用样本算得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大. 区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷 . 譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数N的极大似然估计为1000条. 若我们能给出一个区间，在此区间内我们合理地相信 N 的真值位于其中. 这样对鱼数的估计就有把握多了. 实际上，N的真值可能大于1000条， 也可能小于1000条. 也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值. 湖中鱼数的真值 [ ] 这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的，称为置信概率，置信度或置信水平. 习惯上把置信水平记作 ，这里 是一个 很小的正数. 置信水平的大小是根据实际需要选定的. 例如，通常可取置信水平 =0.95或0.9等. 根据一个实际样本，由给定的置信水平，我 小的区间 ，使 们求出一个尽可能 置信水平为 的 置信区间，其中 为两个统计量. 称区间 为 的 寻找置信区间的方法,一般是从确定误差限入手. 使得 称 为 与 之间的误差限 . 我们选取未知参数的某个估计量 ，根据置信水平 ，可以找到一个正数 ， 只要知道 的概率分布，确定误差限并不难. 下面我们就来正式给出置信区间的定义,并通过例子说明求置信区间的方法. 由不等式 可以解出 ： 这个不等式就是我们所求的置信区间. 前面已经给出了概率分布的上侧分位数（分位点）的定义，为便于应用，这里我们再简要复习一下. 在求置信区间时，要查表求分位数. 设0 1, 对随机变量X，称满足 的点 为X的概率分布的上 分位数. 例如: 标准正态分布的 上 分位数 例如: 分布的上 分位数 自由度为n的 F分布的上 分位数 自由度为n1,n2的 书末附有 分布、t 分布、F分布的上侧分位数表，供使用. 需要注意的事项在教材上有说明. 至于如何由标准正态分布函数表查表求得分位数，若你对分布函数定义熟悉的话，这个问题不难解决. 现在回到置信区间题目上来. 一、 置信区间定义： 满足 设 是 一个待估参数，给定 若由样本X1,X2,…Xn确定的两个统计量 则称区间 是 的置信水平（置信度、 置信概率）为 的置信区间. 分别称为置信下限和置信上限. 一旦有了样本，就把 估计在区间 内. 这里有两个要求: 可见， 对参数 作区间估计，就是要设法找出两个只依赖于样本的界限(构造统计量) (X1,…Xn) (X1,…Xn) 2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间 长度 尽可能短，或能体现该要求的其它准则. 1. 要求 以很大的可能被包含在区间 内，就是说，概率 要尽可能大. 即要求估计尽量可靠. 可靠度与精度是一对矛盾， 一般是在保证可靠度的条件下 尽可能提高精度. ~N(0, 1) 选 的点估计为 求参数 的置信度为 的置信区间. （1）设X1,…Xn是取自 的样本， 二、置信区间的求法 寻找未知参数的 一个良好估计. 解： 寻找一个待估参数和 估计量的函数 ，要求 其分布为已知. 有了分布，就可以求出 U取值于任意区间的概率. 对给定的置信水平 查正态分布表得 对于给定的置信水平(大概率), 根据U的分布， 确定一个区间, 使得U取值于该区间的概率为 置信水平. 使 为什么 这样取？ 对给定的置信水平 查正态分布表得 使 从中解得 也可简记为 于是所求 的 置信区间为 从解题的过程，我们归纳出求置信区间的一般步骤如下: 1. 明确问题, 是求什么参数的置信区间? 置信水平 是多少? 2. 寻找参数 的一个良好的点估计T (X1,X2,…Xn) 3. 寻找一个待估参数 和估计量T的函数 S(T, ),且其分布为已知. 4. 对于