单元 2.《爷爷的证明题》、《几何原本》的公理结构.ppt

柏拉圖 vs. 亞里斯多德 柏拉圖：數學知識只能藉由論證來獲得。因此，幾何性質不該從圖形之中讀出，而一個恰當的證明應賦予每一個性質，亦即，一個不使用任何圖形的證明。 亞里斯多德：建構一個數學系統必需從底蘊在所有演繹思維的共有概念 (common notion) 出發。並且，最根本的，吾人也必需從設定了數學基本概念之存在性，或者陳述了基本概念之意義的特殊概念 (special notion) 出發。最後，其它的概念必需透過原始屬類 (genus proximum) 與區別屬性 (differentiae specification) 來定義，這些已定義概念的存在性，也必需被證明。我們將會發現歐幾里得正是依循著亞里斯多得的指示，來建構他的數學系統。 * 第 I 冊定義 1. 點是沒有部份的東西。 2. 線 (line) 只有長度而沒有寬度。 3. 線的末端是點。 4. 直線 (straight line) 是與它自己上面的點相平齊 (lies evenly) 的線。 5. 面是只有長度與寬度。 6. 面 (surface) 的邊緣是線。 7. 平面 (plane surface) 是與它上面的直線相平齊 (lies evenly) 的面。 * 8. 平面角是平面上相交並且不落在同一直線上的兩線，彼此之間的傾斜度。 9. 並且，若包含這個角的線是直線，此平面角稱為直線角。 10. 當一直線站在另一直線上，使得相鄰的角彼此全等，則相鄰的角皆為直角。並且，此站在另一條直線上的直線被稱為垂直於它所站立的直線。 * 15. 圓是由一條線包圍著的平面圖形，其內有一點與這條線上的點連接成的所有線段都相等。 23. 平行的直線是落在同一平面上，往兩個方向持續不斷地延長時 (being produced indefinitely)，彼此不會相交的直線。 * 設準 I 讓下面的敘述被設定為準則 (Let the following be postulated)：從任何一點到任何一點可畫一直線。 II 且一條有限直線可以持續地延長。 III 且以任意點為圓心及任意距離可以畫圓。 IV 且凡直角都相等。 V 且如果一條直線與另兩條直線相交，若同一側的兩個內角和小於兩直角，則這兩條直線不斷延長後 (if produced indefinitely)，會在內角小於兩直角的那一側相交。 * 兩類設準 1. 存在性設準，假設了某種基本概念的存在性（I-III）。 2. 用來假設幾何圖形具有某種特定性質的相關設準（IV, V）。 * 共有概念（或公理） 等於相同量的量彼此相等。 等量加等量，其和相等。 等量減等量，其差相等。 能重合 (coincide) 的物，彼此相等。 全體大於部份。 * 以亞里斯多德為依歸！ 從上述的基礎開始，歐幾里得建立了《幾何原本》的公理結構。為此，他試著滿足亞里斯多德的要求： 1. 每個新的敘述句 (statement/proposition) 必需被證明。 2. 每個新的概念 (concept) 都必需被定義，更進一步地，其存在性 (existence) 也必需被證明。 * 版權聲明 頁碼 作品 版權圖示 來源/作者 3 《爺爺的證明題》，高瑞夫、哈托許著，(洪萬生、洪贊天、林倉億譯)，博雅書屋出版社，2009年9月22日出版。 依據著作權法第46、52、65條合理使用。 5 我們寫……則莫過於說一個故事。 《爺爺的證明題》，高瑞夫、哈托許著，(洪萬生、洪贊天、林倉億譯)，博雅書屋出版社，2009年9月22日出版。第1頁。 依據著作權法第46、52、65條合理使用。 6 Do you like fiction and ……the right place... 本引文引自網站：/MATHFICT/，瀏覽日期：2013/1/14。依據著作權法第46、52、65條合理使用。 9 第1章一開始是第一人稱……意外地發現外公曾在紐澤西坐牢 《爺爺的證明題》，高瑞夫、哈托許著，(洪萬生、洪贊天、林倉億譯)，博雅書屋出版社，2009年9月22日出版。第1頁~第36頁。 依據著作權法第46、52、65條合理使用。 11 尼可的信：就是這種算式讓……上帝一定是個數學家。 《爺爺的證明題》，高瑞夫、哈托許著，(洪萬生、洪贊天、林倉億譯)，博雅書屋出版社，2009年9月22日出版。第72頁。 依據著作權法第46、52、65條合理使用。 * 版權聲明 頁碼 作品 版權圖示 來源/作者 13-14 一封摩里塞居民的投書……萬物皆數」哲學主張之侷限。 《爺爺的證明題》，高瑞夫、哈托許著，(洪萬生、洪贊天、林倉億譯)，博雅書屋出版社，2009年9月22日出版。第73~114頁。 依據著作權法第46、52、65條合理使用。 15 拉維請求主