南大复变函数与积分变换课件(PPT版)6.4_几个初等函数构成的共形映射映射.ppt

复变函数 * 第六章 共形映射 §6.4 几个初等函数构成的映射 * 第六章 共形映射 §6.4 几个初等函数构成的映射 * 第六章 共形映射 §6.4 几个初等函数构成的映射 §6.4 几个初等函数构成的映射 一、幂函数 二、指数函数 三、综合举例 一、幂函数 ( 整数 ) 则有 令 1. 映射特点 即 幂函数 扩大顶点在原点的角形域( 或扇形域 )。 特点 类似地，根式函数 作为幂函数的逆映射，其映射 特点是缩小顶点在原点的角形域( 或扇形域 )。 2. 保形性 单值性 解析性 一、幂函数 ( 整数 ) (1) 在 平面上处处可导，且 (2) 当 时， 在 平面上不是双方单值的， 对于 幂函数 在 平面上除原点外是第一类保角映射。 结论 在角形域 上，如果 ，则幂函数 是 共形映射。 比如： 取 则 解 令 则 如图，所求的象区域 G 为： 解 P157 例6.14 二、指数函数 (z) y x w v u (w) 回顾 有 由 z 的实部得到 w 的模； 由 z 的虚部得到 w 的辐角。 即 x z y y 令 1. 映射特点 指数函数 将水平带形域变为角形域。 特点 二、指数函数 特别有 单值性？ (?) 2. 保形性 单值性 解析性 在 平面上处处可导，且 在 平面上不是双方单值的， 指数函数 在 平面上是第一类保角映射。 结论 在水平带形域 上，如果 则指数函数 是共形映射。 二、指数函数 取 比如： 则 如图，所求的象区域 G 为： 解 令 则 解 P158 例6.15 三、综合举例 (1) 预处理 工具 几种简单的分式映射、幂函数、指数函数等。 目标 使区域的边界至多由两段圆弧(或直线段)构成。 (2) 将区域映射为角形域( 或者带形域 ) 另一个(交)点 映射为 0 。 z2 [ ] 主要步骤 (一般) 方法 将区域边界的一个交点 映射为 z1 工具 或者 (4) 将上半平面映射为单位圆域 工具 ( 对于角形域 ) ( 对于带形域 ) 工具 ( 无附加条件 ) ( 由附加条件确定 ) (3) 将角形域( 或者带形域 )映射为上半平面 三、综合举例 主要步骤 (一般) 注 从上半单位圆域到上半平面的映射为 (错 ) ！ ！ ？ 解 P161 例6.18 解 解 将 故 得 有 再要求将 解 共形映射将 D 映射成单位圆域。 例 设区域 D 由两个圆弧围成(如图所示)， 其中 求一 P160 例6.17 将 故 得 有 再要求将 解 P159 例6.16 解 解 P162 例6.19 (利用前例的结果) 例 映射将 D 映射成上半平面。 设区域 求一共形 *