南航信号与系统6章_连续时间系统的系统函数.ppt

信号与系统 第六章 连续时间系统的系统函数 南京航空航天大学 电子信息工程学院 信息与通信工程系 王旭东 xudong@nuaa.edu.cn §6.1引言 系统函数（转移函数）H(s)，定义为系统零状态响应函数R(s)与激励函数E(s)之比。它是由系统本身决定的，而与其输入、输出并没有关系。它是反映系统特性的重要函数。 §6.2 系统函数的表示法 一线性非时变系统可用线性常系数微分方程表示，所以H(s)的一般形式可表示为： 1、频率特性 若系统是稳定的，则： 3、极零点表示 可见一个系统的极点零点确定后，系统函数就基本确定了。若再确定H0，则H(s)就完全确定。但H0为常数与变量s无关，仅是一个比例因子而已。 1、系统函数一般有n个有限极点和m个有限零点； 4、极、零点数目相等； 5、稳定系统的极点必位于左半平面，虚轴上可有一阶极点存在； 6、两个特殊的点s=0，s=∞ 根据复变函数理论，认为它们是在虚轴上的，因此系统稳定在s=0，s=∞只能有一阶极点，即：若mn 则 m-n1。 7、虽然系统函数对零点没有限制（只要对称于实轴），但在网络理论中，阻抗和导纳互为倒数，因此，对于这种情况对零点的限制与极点相同。 §6.4 系统函数极点、零点与系统频率特性的关系 一、H(s)的矢量表示 二、全通网络 稳定系统的极点不能在右半平面，但零点可在右半平面。如果极点零点关于虚轴镜象对称，则|H(jω)|=H0（常数）于频率无关，称全通网络。 如图所示，画出了有两个极点和两个零点的网络，显然A1=B1 , A2=B2，所以，|H(jω)|=H0 （常数）。 三、最小相移网络 全部极点和零点位于左半平面（包括虚轴）称最小相移网络，否则为非最小相移网络。最小相移网络的相位变化量要比非最小相移网络的相位变化量小，因此得名 。 §6.6 系统的稳定性 关于系统稳定性的问题，同学们并不陌生我们已多次提到。因为，不稳定的系统不能有效地工作，所以，设计一个系统一般都希望系统是稳定的。这样判别一个系统是否稳定就成为一个设计者必须考虑的问题。本节首先讨论系统稳定的充分必要条件，然后进一步介绍线性非时变系统稳定的判别方法。 一、系统的稳定及其充分必要条件 1、系统的稳定与冲激响应 2、系统的稳定与系统函数H(s) H(s) 的所有极点在s平面的左半平面则系统稳定；在虚轴上有一阶极点则临界稳定；在s平面的右半平面有极点存在则不稳定。 3、系统稳定的充分必要条件 所谓系统稳定是指有限（有界）的激励只能产生有限（有界）的响应的系统。有限的激励也包括激励为零的情况。 用数学式子表达： 若激励 |e(t)|≤Me -∞t∞ 则响应 |r(t)|Mr -∞t∞ 其中Me ，Mr 为有限的正实数。 有前面的讨论我们可以直观地看到要系统稳定必须h(t)绝对可积。 4、渐近稳定与临界稳定 另一种情况是H(s)在虚轴上有一阶极点，是理想化的无耗系统，例如纯LC网络，其冲激响应h(t)为直流或等幅的正弦振荡，显然是不满足绝对可积条件的。但响应是有限的，并且这种系统是常见的低耗无源系统的近似，我们也把它看成是稳定的。为了区别于渐近稳定把这种情况称为临界稳定。 5、反馈系统 在自动控制理论中反馈系统是一种很重要的系统，是指将输出或部分输出反向馈送到输入端。因此这种系统的输出不仅与输入激励有关还与输出本身有关。例如晶体管收音机中的自动增益控制（AGC）电路就是一种反馈系统。下面是一个反馈系统简化了的框图： 二、罗斯—霍维茨（Routh—Hurwitz）判据 上面已经指出判定系统是否渐近稳定要看系统特征方程的根（系统函数的极点）的实部是否全部具有负实部。 系统的特征方程可写为： 如果所有根的实部为负，我们可以得出以下结论： 1、多项式各系数均为同号，且不为零； 2、若 a0=0而其它系数不为零，则有一个根为零系统为临界稳定； 3、若全部偶次项或奇次项的系数为零，则所有根的实部为零，说明所有根在虚轴上，如果是单阶的系统也属临界稳定。 所以在特征多项式中系数不同号或有缺项，立即就可判定它有实部为非负的根，因而系统不稳定或临界稳定。但反之不成立！ 3、计算罗斯—霍维茨数列中的符号变化次数，变化次数就等于实部为正的根的个数。 可以证明，它不仅是必要条件还是充分条件。 如果h(t)不绝对可积必引起系统的不稳定，所以，必须满足 h(t)绝对可积，应满足 h(t)可允许有孤立的冲激函数存在，除此之外h(t)也应是有限的，即： 满足上述条件的系统称渐近稳定。 容易看出各信号之间的关系为： 所以反馈系统总的转移函数为： 其中：