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.archivetemp用放缩法证明数列中的不等式(超级好!)
用放缩法证明数列中的不等式 再见,谢谢! 二. 放缩目标模型——可求积 思路 证明 ∵ ∴ 【方法总结之五】 牛刀小试(变式练习2)(1998全国理25第(2)问) 证明 课堂小结 本节课我们一起研究了利用放缩法证明数列不等 式,从中我们可以感受到在平时的学习中有意识地去 积累总结一些常用的放缩模型和放缩方法非常必要,厚积薄发,“量变引起质变”. 当然,要想达到炉火纯青的深厚功力,还必须在实践中不断去感悟,仔细揣摩其方法,逐步内化为自己个人的“修为”. 南宋杰出的诗人陆游说得好:“古人学问无遗力,少壮工夫老始成。纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行。”讲的就是这个道理. 例如:我们可以这样总结本节课学到的放缩模型: 放缩目标模型 可求和 可求积 等差模型 等比模型 错位相减模型 裂项相消模型 又如:我们可以这样总结本节课学到的放缩方法: 平方型: 立方型: 根式型: 指数型: 奇偶型: 平方型、立方型、根式型都可放缩为裂项相消模型 指数型可放缩为等比模型 奇偶型放缩为可求积 * * * * 普宁侨中 郑庆宏 放缩法证明数列不等式是数列中的难点内容,在近几年的广东高考数列试题中都有考查.放缩法灵活多变,技巧性要求较高,所谓“放大一点点就太大,缩小一点点又太小”,这就让同学们找不到头绪,摸不着规律,总觉得高不可攀!高考命题专家说:“放缩是一种能力.” 如何把握放缩的“度”,使得放缩“恰到好处”,这正是放缩法的精髓和关键所在!其实,任何事物都有其内在规律,放缩法也是“有法可依”的,本节课我们一起来研究数列问题中一些常见的放缩类型及方法,破解其思维过程,揭开其神秘的面纱,领略和感受放缩法的无限魅力! 一. 放缩目标模型——可求和 不等式左边可用等比数列前n项和公式求和. 分析 左边 表面是证数列不等式,实质是数列求和 不等式左边可用“错位相减法”求和. 分析 由错位相减法得 表面是证数列不等式,实质是数列求和 左边不能直接求和,须先将其通项放缩后求和,如何放缩? 分析 将通项放缩为等比数列 注意到 左边 左边不能直接求和,须先将其通项放缩后求和,如何放缩? 分析 注意到 将通项放缩为 错位相减模型 【方法总结之一】 左边可用裂项相消法求和,先求和再放缩. 分析 表面是证数列不等式,实质是数列求和 左边不能求和,应先将通项放缩为裂项相消模型后求和. 分析 保留第一项,从第二项开始放缩 当n = 1时,不等式显然也成立. 变式2的结论比变式1强,要达目的,须将 变式1放缩的“度”进行修正,如何修正? 分析 保留前两项,从第三项开始放缩 思路一 左边 将变式1的通项从第三项才开始放缩. 当n = 1, 2时,不等式显然也成立. 变式2的结论比变式1强,要达目的,须将变式1放缩的“度”进行修正,如何修正? 分析 保留第一项,从第二项开始放缩 思路二 左边 将通项放得比变式1更小一点. 当n = 1时,不等式显然也成立. 变式3的结论比变式2更强,要达目的,须将变式2放缩的“度”进一步修正,如何修正? 分析 保留前两项,从第三项开始放缩 思路一 左边 将变式2思路二中通项从第三项才开始放缩. 当n = 1, 2时,不等式显然也成立. 变式3的结论比变式2更强,要达目的,须将变式2放缩的“度”进一步修正,如何修正? 分析 保留第一项,从第二项开始放缩 思路二 左边 将通项放得比变式2思路二更小一点. 当n = 1时,不等式显然也成立. 评注 【方法总结之二】 放缩法证明与数列求和有关的不等式的过程 中,很多时候要“留一手”, 即采用“有所保留” 的方法,保留数列的第一项或前两项,从数列的第 二项或第三项开始放缩,这样才不致使结果放得过 大或缩得过小. 牛刀小试(变式练习1) 证明 当n = 1时,不等式显然也成立. (08·辽宁卷)已知: 求证: . 故 当 时,有 也成立. 练习: 已知数列 中 , 求证: . 当 时,有 也成立. 常见的裂项放缩技巧: 4. 1. 3. 5. 6. 2. 右边保留第一项 思路 为了确定S的整数部分,必须将S的值放缩在相邻的两个 整数之间. 分析 思路 左边 利用指数函数的单调性放缩为等比模型 ∵ ∴ 分析 左边 ∵ ∴ 保留第一项,从第二项开始放缩 左边不能直接求和,能否仿照例4的方法将通项也放缩为等比模型后求和? 当n = 1时,不等式显然也成
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