03、复合函数.doc

三、复合函数 公主岭二中：胡清涛 我们在研究函数概念时知道，函数就定义域到值域的映射。所以函数可以用映射来表示。 如函数就可以表示为： 在这个函数中集合A是函数的定义域，变量x是函数的“自变量”；集合B是函数的值域，变量u是函数的“因变量”。 那么函数可表示为： 在这个函数中集合B是函数的定义域，变量u是函数的“自变量”；集合C是函数的值域，变量y是函数的“因变量”。 将这两个函数进行比较会发现：集合B在函数中是“值域”，而在函数中却变成了定义域，或者说变量u在中是因变量，而在函数中却变成了自变量。 上述两个函数可简单的表示为： 和 , 不难发现如果以u作为桥梁就能够实现从x到y的一个对应，即： 这个对应与我们以往所研究的的函数变量间的对应有所不同，以往我们研究的函数自变量与因变量间的对应中只有一个对应关系，而在上述x与y之间的对应却有两个对应法则，也就是说先使x执行对应法则f，再让f作用x所得到的结果执行对应法则g，才得到了y。 把上述对应用映射的形式表现出来，即： 那么以x为自变量，以y为因变量的函数该如何来表示呢？ 由于 而，那么用替换中的而得到： 像这样的函数我们就称作是复合函数。 复合函数： 如果是的函数，而又是的函数，且对于值所对应的值，函数是有定义的, 即,则关于的函数叫做和的复合函数。 其中称为“内层函数”；称函数 为“外层函数” 对应法则和可以相同，也可以不同 在一个复合函数中自变量与因变量之间的对应是由两个或两个以上的对应法则所确定的；在复合函数中自变量x执行对应法则时是有顺序的，先执行内层函数的对应法则，后执行外层函数的对应法则。说得形象一点，可以把自变量看成是被加工的零件，这个零件依次通过第一个映射后到第二个映射，一直到通过全部映射。所以说复合函数是对同一自变量逐次映射构成的一个复合映射确定的函数。就像复合函数y=sin 2x是自变量x先“乘2”（第一次映射），再“取正弦”（第二次映射），最后得到y关于x的一个函数sin 2x。因此可以说复合函数是函数的函数。 为了对复合函数的意义理解的更透彻，我们判断这样一个问题： 函数，函数，函数，那么函数是不是由函数和函数复合而成的复合函数。 解析：不难看出是由和相加而得到的，即 所以发现在中有两个对应法则和，这本身就是一种错误的想法，我们再回头来看的解析式，在解析式中明确的表示出函数的对应法则是“将自变量x平方之后再加上一个x，最后加1”，也就是说函数的对应法则只有一个而不是两个，所以不是由和函数复合而成的复合函数。 通过上面的分析我们知道“复合函数并不是简单意义上的的将多个函数加、减、乘、除所构成的”。无论多少个函数加、减、乘、除所得到的函数的对应法则都只有一个。 怎样才能正确的写出两个函数复合而成的复合，函数呢？ 如：已知和，求、、 解析：我们知道任意一个函数中的对应法则都是作用于括号里面的整体部分的，也不例外，现在括号里面的整体是，根据的解析式可知对应法则是“将括号内整体的部分取倒数”，于是可知：，而所以复合函数的解析式为： 同理： 同理： 在这个问题中的前两问内层函数的对应法则与外层函数的对应法则是不同的；而第三问中，内层函数与外曾函数的对应法则是相同的 类似的问题如：已知函数，求、 解析： 通过对本题的研究我们要掌握三点： （一）、如何根据两个简单函数的解析式求复合函数的解析式。 （二）、复合函数与是不同的。 （三）、多重函数解析式的求法。 这是因为在这两个复合函数中，内层函数与外层函数是不同的，所以自变量x执行对应法则时的顺序就有所不同，从而两个复合函数是不同的。 我们不但会将两个简单函数复合成为一个复合函数，也要会将一个复合函数拆分成两个简单函数。 如：将下列复合函数拆分成两个简单函数。 ①、 ②、 解析： 设，则， 所以复合函数由二次函数和反比例函数，复合而成 设，则， 所以复合函数有二次函数和指数函数，复合而成 将复合函数拆分成两个简单函数，一般设内层函数为，从而外层函数为，拆成的两个简单函数分别为和 通过对上述问题的研究，我们来判断下面的问题： 已知：函数，求和，并判断和是不是复合函数。 解析：跟前面问题的分析方法一样，函数中的对应法则f作用的是括号内的整体，对 于对应法则f我们可以由函数解析式中得出，即对应法则f为“将 括号整体平方，加上括号整体的2倍，再减去1”。 对于，括号中的整体为，那么对应法则就作用于这个整体于是 得到 对于，括号中的整体为，那么对应法则就作用于这个整体