双曲线与方程_知识点总结_例题习题精讲_详细答案.doc

一、双曲线的定义 第一定义：到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F1F2|）的点的轨迹（（为常数））这两个定点叫双曲线的焦点。要注意两点：（1）距离之差的绝对值。（2）2a＜|F1F2|。 当|MF1|－|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支； 当|MF1|－|MF2|=－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支； 当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线； 当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在。 第二定义：动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e(e＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点定直线l叫做双曲线的准线 二、双曲线的标准方程，其中||=2c焦点在x轴上（a＞0，b＞0）焦点在y轴上（a＞0，b＞0）如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上。 a不一定大于b。 （2）与双曲线共焦点的双曲线系方程是 双曲线方程也可设为： 点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系点与双曲线点在双曲线的内部 点在双曲线的外部 点在双曲线上 直线与双曲线代数法设直线，双曲线联立解得 （1）时，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； ，，或k不存在时直线与双曲线没有交点； 时， 存在时，若，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若，时，，直线与双曲线相交于两点； 时，，直线与双曲线相离，没有交点； 时，直线与双曲线有一个交点； 不存在，时，直线与双曲线没有交点； 直线与双曲线相交于两点； 过定点的直线与双曲线的位置关系： 设直线过定点，双曲线 当点在双曲线内部时： ，直线与双曲线两支各有一个交点； ，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 或或不存在时直线与双曲线的一支有两个交点； 当点在双曲线上时： 或，直线与双曲线只交于点； 直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； （）或（）或或不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点； 当时，或不存在，直线与双曲线只交于点； 或时直线与双曲线的一支有两个交点； 直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 当点在双曲线外部时： 当时， ，直线与双曲线两支各有一个交点； 或或不存在，直线与双曲线没有交点； 当点时， 时，过点的直线与双曲线相切 时，直线与双曲线只交于一点；双曲线与渐近线的关系若双曲线方程为渐近线方程： 若双曲线方程为（a＞0，b＞0）渐近线方程： 3、若渐近线方程为双曲线可设为, 。 若双曲线与有公共渐近线则双曲线的方程可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上） 双曲线与切线方程双曲线上一点处的切线方程是。 过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是。 双曲线与直线相切的条件是。 双曲线的性质双曲线 标准方程（焦点在轴） 标准方程（焦点在轴） 定义 第一定义：平面内与两个定点，的距离的差的绝对值是常数（小于）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。 第二定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离的比是常数，当时，动点的轨迹是双曲线。定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数（）叫做双曲线的离心率。 范围 ， ， 对称轴 轴 ，轴；实轴长为,虚轴长为 对称中心 原点 焦点坐标 焦点在实轴上，；焦距： 顶点坐标 （,0） (,0) (0, ,) (0，) 离心率 1)， ， e越大则双曲线开口的开阔度越大 准线方程 准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离： 顶点到准线的距离 顶点（）到准线（）的距离为 顶点（）到准线（）的距离为 焦点到准线的距离 焦点（）到准线（）的距离为 焦点（）到准线（）的距离为 渐近线方程 () () 共渐近线的双曲线系方程 （） （） 直线和双曲线的位置 双曲线与直线的位置关系： 利用转化为一元二次方程用判别式确定。 二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。 相交弦AB的弦长 通径： 过双曲线上一点的切线 或利用导数 或利用导数 七、 弦长公式若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则，若分别为A、B的纵坐标，则。 通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、B两点，则弦长。 若弦AB所在直线方程设为，则＝。 特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解八、焦半径公式双曲线（a＞0，b＞0）上有一动点 当在左支上时, 当在右支上时, 注：焦半径公式是关于的一次函数，具有单调性，当在左支端点时，，当在左支端点时， 九、等轴双曲线（a＞0，b＞0）当时称双曲线为等轴双