古希腊三大作图问题.ppt

一、古希腊三大作图问题与尺规作图 古希腊三大作图问题 古希腊有三个十分著名的作图问题，这三个作图问题规定只能用圆规和直尺解决.它们分别是： 倍立方体：求作一个立方体的边，使该立方体的体积为给定立方体的两倍. 化圆为方：求作一个正方形，使其面积与一个给定的圆的面积相等. 三等分角：求作一个角，使其等于给定的角的三分之一. 尺规作图 古时候人们约定，所谓圆规直尺作图是指：使用直尺，我们能过任何给定的不同两点，作一条直线；使用圆规，我们能以给定点为圆心，任意长为半径作一个圆. 在作图中，使用的直尺是没有刻度标记的直尺； 只用圆规、直尺，古希腊三大作图问题不可作。 不限制用圆规和直尺，三大作图问题是可作的 几种常见的三等分角的方法 方法一：阿基米德的作法； 方法二：近似求解三等分角的方法——二分法； 方法三：物理实验——运用钟表三等分角. 二、三等分角不可能尺规作图的证明 历史上人们的想法 针对一个具体的问题去寻找实现的方法，我们找不到实现的方法，不代表这种方法不存在，我们只能这样一直地找下去； 没有针对一个问题，去寻找解决这类问题的方法。 不可作图问题是如何解决的呢？ 思路：我们对尺规作图一类问题进行考虑。 确定尺规作图的范围； 判断我们要求作的具体问题是否在这个范围内。 不可作图问题证明的基本步骤 1）尺规作图代数化——几何问题代数化； 2）范围界定，与数域建立联系——数域与扩域； 3）是否只有这个范围。 三等分角不可能性的证明 问题的代数化； 方程 没有有理数根； 方程 的根是不可作图的 。 三、教材逻辑 四、关键点 作图问题代数化 1）作图 作数 作数对； 2）基本图形作图代数化 扩域“列”与扩域“树” “列”： “树”： 扩域“列”与扩域“树” 扩域“树”的基本特征： 每一支都是一个扩域“列”； 在这些扩域“列”中，每一个扩域中的数都可以用尺规作出； 某一个扩域可能出现在不同的扩域“列”中. 只能作图 对尺规作图而言, 从单位1出发, 利用尺规作图, 可以作出有理数域中的每一个数。然后, 我们可以选择有理数域中的一个数, 作它的算术平方根(这里要求), 进而作出所有形如的数,其中是数域中的任意数。从而，用尺规可以作出一个新的数域.重复这样的过程，我们就可以作出数域“树”。 数域“树”中每一个数都可以用尺规作出，而且，尺规所能作出数的范围仅限于数域“树”中的数。 我们可以把它写成一个定理： 尺规能且仅能作出的数的范围为数域“树”。 * * 作图欣赏 三大作图问题 其它方法 尺规作图原则 尺规作图的范围（1） ——能作的范围 尺规作图的范围（2） ——仅能作的范围 应用 不能作的范围 能作的范围 倍方 三等分角 正十七边形 范例 有理数域与尺规作图 数域扩充与尺规作图 扩域“列”、扩域“树”与尺规作图 尺规作图代数化 直线的表示 圆的表示 数域与尺规作图的封闭性 圆规作图与扩域 补充知识 作直线与圆 确定方程及系数 直线与直线的交点 直线与圆的交点 圆与圆的交点 有理数域