固体物理 4 2011.ppt

由以上讨论可知，自由电子的能谱是抛物线关系， 计入周期场的微扰作用，在波矢 k=+?/a, +2?/a, +3?/a, … 等处，发生能量不连续，产生宽度依次为 2V1, 2V2, 2V3, …的禁带。在离这些点较远的波矢，电子能量同自由电子的能量相近，这些情况如下面图中的粗线所示。 近自由电子模型的能量 ? 波矢关系 晶体中电子波的布拉格反射是能隙的起因。由于布拉格反射，将不存在薛定格方程的类波解，如图所示。这种能隙对于确定一个固体究竟是绝缘体还是导体具有决定性意义。 (a)自由电子的能量 E 对波矢 k 的关系曲线; (b)晶格常量为 a 的单原子线型晶格中电子的能量对波矢的关系曲线。所示能隙Eg与k = + ?/a的第一级布拉格反射相联系，其他能隙出现在 k=+n?/a处，这里 n 取整数。 在上图中实线代表的E~k关系分成许多区域: 波矢介于-?/a到-?/a 之间的区域称为第一布里渊区(约化布里渊区)； 波矢介于-2?/a到-?/a以及?/a到2?/a 之间的区域称为第二布里渊区；其余类推。 如果我们遇到像 这样的布洛赫函数，其中 在第一布里渊区之外，那么我们可以找到一个适当的倒格失 ，使 位于第一布里渊区内。 其中 。 和 二者都具有晶格周期性， 所以 也是如此，于是 具有布洛赫函数形式。 约化布里渊区 所以对于任何能带均可在-?/a到-?/a 之间的波矢范围内表达。这个区间称为简约布里渊区。 在简约布里渊区内E~k关系是多值函数，记为 Es(k)， 其中s是能带的编号。 上面的讨论说明波失k和k+Kh 表示的状态是一样的。 于是 在扩展 (布里渊)能区图式 (a)，约化能 区图式 (b)，和周期能区图式 (c)，中给出的线型晶格的三个能带。 能带图 1·扩展能区图式，其中不同的能带描绘于波矢空间中不同的布里渊区内; 2·约化能区图式，其中所有的能带都绘人第一布里渊区内; 3·周期能区图式，其中在每一个布里渊区给出所有的能带。 在简约布里渊区内E~k关系是多值函数，记为 Es(k)， 其中s是能带的编号。 两块不同的金属 I 和 II 相接触，或者用导线联结起来，两块金属就会彼此带电产生不同的电势VI 和 VII ，这称为接触电势，如图所示。 (4) 接触电势差 设两块金属的温度都是T，当它们相接触时(t=0)，每秒内从金属 I 的单位表面积所逸出的电子数为 从金属 II 逸出的电子数为 若 ?II?I 则从金属 I 逸出的电子数比金属 II 逸出的多，于是，两者接触时金属 l 带正电荷，金属 II 带负电荷，它们产生的静电势分别为 VI0 和 VII0 这样，两块金属中的电子分别具有附加的静电势能为 - eVI 和 - eVII (42) (43) 它们发射的电子数分别变成(t=t) 平衡时 由此得 所以，接触势差 这关系式说明接触势差的由来是两块金属的脱出功不同。 (44) (45) (46) (47) (48) 脱出功表示真空能级和金属费密能级之差，所以接触势差来源于两块金属的费密能级不一样高。电子从费密能级较高的金属 l 流到较低的金属 II，接触电势差正好补偿了EFI - EFII，达到平衡时，两块金属的费密能级就达到同一高度，如图所示。 E0 真空能级 平衡时 T=0 4.5 布洛赫波 晶体中的电子是在规则排列的正离子势场中运动，这种势场具有晶格的周期性。就一维情况而言，势能 式中 a 是一维晶格的原胞长度，n 是任意整数。在周期场V(x)中运动的电子，其能量 E 和波函数?k(x) 必须满足薛定格方程， 其中 k 是用来表征电子状态的量子数。 (49) (50) 布洛赫定理: ?k(x) 是按晶格周期函数调幅的平面波，即可写成如下形式的函数， 具有此形式的波函数常称为布洛赫函数。 (51) (52) 考虑到平移对称性，波函数满足下式 ?(x+a)=??(x) 因此 ?(x+Ma)=?M?(x) 由于玻恩 —卡曼周期性边界条件 ?(x+Na)=?N?(x) M, N 是整数 ?(x+Na)=?(x) 比较（55）和（56），我们得到 ?N=1 ?=ei2? M/N 证明布洛赫定理 (53) (54) (55) (56) 如果我们将?(x) 写成下列形式 ?(x)=uM(x) ei2? Mx/Na uM(x)有点阵的平移对称性 uM(x)=uM(x+na) 则波函数 (57) 满足（53）式, 因此式(57)是一维周期性点阵的波函数 。 M的值与波矢的值有关