基本不等式与绝对值不等式.docx

基本不等式与绝对值不等式适用学科高中数学适用年级高中三年级适用区域通用课时时长（分钟）120知识点基本不等式、绝对值不等式教学目标1.学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理2.会解绝对值不等式，并能应用绝对值不等式解决综合问题3.通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力教学重点均值定理证明、绝对值不等式的理解.教学难点基本不等式“等号”成立条件、绝对值不等式的解法及运用教学过程新课导入前面我们已学过不等式的性质和证明方法，这一节我们再来研究算术平均数与几何平均数之间的关系及一些含有绝对值的不等式的证明问题.二、复习预习基本不等式的定理及推论.如何运用基本不等式解决问题.绝对值不等式的定理及推论.如何运用绝对值不等式证明问题.三、知识讲解考点1 基本不等式1．基本不等式：如果.2．定理：如果a,b是正数，那么3.公式的等价变形：ab≤，ab≤（）2.4．若≥2（ab＞0），当且仅当a＝b时取“＝”号.5．定理：如果，那么（当且仅当时取“=”）.6．推论：如果，那么 （当且仅当时取“=”）.7.关于“平均数”的概念如果 则：叫做这n个正数的算术平均数；叫做这n个正数的几何平均数.推广： ≥语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数考点2 绝对值不等式的定理及推论定理：.注意：1 左边可以“加强”同样成立，即.2 这个不等式俗称“三角不等式”—三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.3a,b同号时右边取“=”，a,b异号时左边取“=”.推论1：≤.推论2：.四、例题精析考点1基本不等式例1 已知为两两不相等的实数，求证：.【规范解答】∵以上三式相加：∴.【总结与反思】此题在证明过程中运用了基本不等式及不等式的性质，在证法上采用的是综合法.例2已知a,b,c,d都是正数，求证：．【规范解答】∵a,b,c,d都是正数，∴ab＞0，cd＞0，ac＞0，bd＞0得 由不等式的性质定理4的推论1，得即.【总结与反思】用均值不等式证明题时，要注意为达到目标可先宏观，而后微观；均值不等式在运用时，常需先凑形后运用；均值不等式和不等式的基本性质联合起来证题是常用的行之有效的方法.例3 已知a , b, cR, 求证：123.【规范解答】证明：1法一：, , 两式相乘即得.法二：左边 ≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9.2∵两式相乘即得.3由上题：∴即 .【总结与反思】基本不等式的灵活运用.例4 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2米的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量份数与a、b的乘积ab成反比现有制箱材料60平方米，问a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量份数最小(A、B孔面积忽略不计).【规范解答】设y为流出的水中杂质的质量份数，由题意可知：4b＋2ab＋2a＝６0（a＞0，b＞0）∴a＋2b＋ab＝30 （a＞0，b＞0）,∴b＝ （0＜a＜30）由题设：y＝，其中k＞0且k是比例系数，依题只需ab取最大值∴y＝＝≥∴当且仅当a＋2＝时取“＝”号，即a＝６，b＝3时ab有最大值18故当a＝6米，b＝3米时经沉淀后流出的水中杂质最少.【总结与反思】均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程为：(1)先构造定值；(2)出现关系式；(3)验证“＝”号成立.例5 求函数的最大值，下列解法是否正确？为什么？解一： ，∴解二：当即时，.【规范解答】以上两种解法均有错误解一错在取不到“=”，即不存在使得；解二错在不是定值（常数）正确的解法是：当且仅当即时【总结与反思】基本不等式成立条件：一正、二定、三相等.例6 若，求的最值.【规范解答】∵ ∴，从而，即.【总结与反思】构造定值运用基本不等式求解.例7 设且，求的最大值.【规范解答】∵ ∴又，∴即 【总结与反思】构造定值运用基本不等式求解.例8 已知且，求的最小值.【规范解答】当且仅当即时.【总结与反思】构造定值运用基本不等式求解.考点1绝对值不等式的定理及推论例9设a, b, c, d都是不等于0的实数，求证≥4.【规范解答】∵ ∴ ① ②又 ③由①，②，③式，得.【总结与反思】此题作为一个含绝对值的不等式，在证明过程中运用了基本不等式及不等式的性质，在证法上采用的是综合法.例10已知|a|＜1,|b|＜1,求证＜1．【规范解答】＜1＜1由|a|＜1,|b|＜1,可知（1－a2）(1－b2)＞0成立，所以 ＜1.【总结与反思】此题运用了|x|＜ax2＜a2这一等价条件将绝对值符号去掉，并采用