复变习题集.pptx

1 例1 解 直线方程为 第三章 2 这两个积分都与路线C 无关 3 例2 解 (1) 积分路径的参数方程为 y=x 4 (2) 积分路径的参数方程为 5 (3) 积分路径由两段直线段构成 x轴上直线段的参数方程为 1到1+i直线段的参数方程为 6 例3 解 积分路径的参数方程为 7 例4 解 积分路径的参数方程为 8 重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关. 9 例5 解 根据估值不等式知 10 11 四、小结与思考 本课我们学习了积分的定义、存在条件以及计算和性质. 应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质. 本课中重点掌握复积分的一般方法. 12 思考题 13 思考题答案 即为一元实函数的定积分. 放映结束，按Esc退出. 14 三、典型例题 例1 解 根据柯西－古萨定理, 有 15 例2 证 由柯西－古萨定理, 16 由柯西－古萨定理, 由上节例4可知, 17 例3 解 根据柯西－古萨定理得 18 19 四、小结与思考 通过本课学习, 重点掌握柯西－古萨基本定理: 并注意定理成立的条件. 20 思考题 应用柯西–古萨定理应注意什么? 21 思考题答案 (1) 注意定理的条件“单连通域”. (2) 注意定理的不能反过来用. 放映结束，按Esc退出. 22 三、典型例题 例1 解 依题意知, 23 根据复合闭路定理, 24 例2 解 圆环域的边界构成一条复合闭路, 根据闭路复合定理, 25 例3 解 26 由复合闭路定理, 此结论非常重要, 用起来很方便, 因为不必是圆, a也不必是圆的圆心, 只要a在简单闭曲线内即可. 27 例4 解 由上例可知 28 四、小结与思考 本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原 理是复积分中的重要定理, 掌握并能灵活应用它 是本章的难点. 常用结论: 29 思考题 复合闭路定理在积分计算中有什么用? 要注意什么问题? 30 思考题答案 利用复合闭路定理是计算沿闭曲线积分的最主要方法. 使用复合闭路定理时, 要注意曲线的方向. 放映结束，按Esc退出. 31 二、典型例题 例1 解 由牛顿-莱布尼兹公式知, 32 例2 解 (使用了微积分学中的“凑微分”法) 33 例3 此方法使用了微积分中“分部积分法” 解 34 例4 解 利用分部积分法可得 课堂练习 答案 35 例5 解 36 例6 解 所以积分与路线无关, 根据牛—莱公式: 37 三、小结与思考 本课介绍了原函数、不定积分的定义以及牛 顿—莱布尼兹公式. 在学习中应注意与《高等数学》中相关内容 相结合, 更好的理解本课内容. 38 三、典型例题 例1 解 39 由柯西积分公式 40 例2 解 由柯西积分公式 41 例3 解 由柯西积分公式 42 例４ 解 根据柯西积分公式知, 43 例5 解 44 例5 解 45 由闭路复合定理, 得 例5 解 46 例6 解 根据柯西积分公式知, 47 比较两式得 48 课堂练习 答案 49 四、小结与思考 柯西积分公式是复积分计算中的重要公式, 它的证明基于柯西–古萨基本定理, 它的重要性 在于: 一个解析函数在区域内部的值可以用它在 边界上的值通过积分表示, 所以它是研究解析函 数的重要工具. 柯西积分公式: 50 思考题答案 可以. 其中积分方向应是顺时针方向. 放映结束，按Esc退出. 51 三、典型例题 例1 解 52 53 根据复合闭路定理 54 55 例2 解 56 57 例3 解 由柯西－古萨基本定理得 由柯西积分公式得 58 课堂练习 答案 59 例4 解 60 根据复合闭路定理和高阶导数公式, 61 62 例5 (Morera定理) 证 依题意可知 63 参照本章第四节定理二, 可证明 因为解析函数的导数仍为解析函数, 64 例6 证 不等式即证. 65 四、小结与思考 高阶导数公式是复积分的重要公式. 它表明 了解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重 要的结论, 同时表明了解析函数与实变函数的本 质区别. 高阶导数公式 66 思考题 解析函数的高阶导数公式说明解析函数的导数与实函数的导数有何不同? 67 思考题答案 这一点与实变量函数有本质的区别. 放映结束，按Esc退出.