复变函数 吉林大学 5-1.ppt

第五章 留数 §5.1 孤立奇点 §5.2 留数(Residue) §5.3 留数在定积分计算中的应用 * 概述 留数理论是级数与积分理论相结合的产物，是复变函数论的主要理论，是解决实际问题的有力工具. 先对解析函数的孤立奇点进行分类，再讨论各类孤立奇点的有效判断方法。而后，给出留数的定义，介绍留数的计算方法。最后，给出留数定理，并利用它计算闭路的积分。 它可以把计算沿着闭路的积分转化为计算在孤立奇点处的留数！！！ * 1. 定义 2. 分类 3. 性质 4. 零点与极点的关系 §5.1 孤立奇点 * 1. 孤立奇点的定义 例如 ----z=0为孤立奇点 ----z=0及zn =1/n? (n = ?1 , ?2 ,…) 都是它的奇点 ----z=-1, 2为孤立奇点 定义 ~~~~~~~~~ * x y o 这说明奇点未 必是孤立的。 * 2. 孤立奇点的分类 以下在孤立奇点的去心邻域内将f (z)展成洛朗级数， 根据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。考察： 特点： 没有负幂次项 特点： 只有有限多个负幂次项 特点： 有无穷多个负幂次项 * 定义1.1 设z0是f (z)的一个孤立奇点，在z0 的去心邻域内，若f (z)的洛朗级数 没有负幂次项，称z=z0为可去奇点; 只有有限多个负幂次项，称z=z0为m 级极点; 有无穷多个负幂次项，称z=z0为本性奇点。 ~~~~~~~~ ~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~ 判断孤立奇点类型的第一种方法！ * 3. 性质 　 判断孤立奇点类型的第二种方法！ 证明： * f(z)在去心邻域内有界!! Cauchy 不等式 * 　z0为f (z)的m (m ? 1) 级极点 分析： 例如： * 显然 * 　z0为f (z)的本性奇点 例1.2 z=0为f (z)的一个三级极点， z=2为f (z)的一级极点。 例1.3 * 4. 零点与极点的关系 定义1.5 对于不恒等于0的解析函数f (z), 如果它能表示成： 则称z=z0为f (z) 的m 级零点。 例如： * 定理1.3 事实上， 必要性得证！ 充分性略！ * 例如 * 定理1.4 证明 “?”　若z0为f (z)的m 级极点 （函数的零点与极点的关系定理） * * 定理1.5 例如1.5 m 级零点 n 级零点 有哪些奇点？ * 解： * 例如1.7 解： 起着坐标变换的作用！！ * 5. 函数在无穷远点的性态 下面在扩充复平面上讨论函数的奇点： 定义1.6 ~~~~~~~~~ 提出问题:如何研究函数在无穷远点的邻域内的性质？ 解决问题的方法：要研究函数在无穷远点的性质?只需考察在零点处的性质： 为此，我们考察如下反演映射： ~~~~~~~ * 如何映射区域？ * 如何构造解析函数？ 级数的复合运算 规定: * 定义1.7 （1）孤立奇点的判断方法！ 注意：变量变换 负幂项系数 正幂项系数 * 于是 观察二者主要部分的系数变化 定理1.6 （2）孤立奇点的判断方法！ * 例1.8 解： 例1.9 解： * 解： 例1.10 解： 例1.11 *