复变函数与积分变换__第3章.pptx

第三章 复变函数的积分 §3.1 复变函数的积分 §3.2 Cauchy积分定理 §3.3 Cauchy积分公式 §3.4 解析函数的高阶导数 主 要 内 容 本章介绍复变函数的积分概念，解析 函数积分的主要性质. 重点是Cauchy积分 定理、Cauchy积分公式、Cauchy(高阶)导 数公式。 §3.1 复变函数积分的概念 一 复变函数积分的定义 二 复变函数积分的性质 三 复变函数积分的计算 (1) 将曲线 C 任意划分： 一、复积分的定义 曲线，其方向是从 a 到 b， 一、复积分的定义 表示沿曲线 C 的 负方向积分； 表示沿闭曲线 G (的逆时针方向) 积分； 二、复积分的性质 定理3.1 设C是分段光滑(或可求长)的有向 积分存在定理 从形式上可以看成 三、复积分的计算 方法一 化为第二类曲线积分 三、复积分的计算 方法二 直接化为定积分 则 利用柯西积分公式、高阶导公式计算。 利用留数计算。 解 解 解 都是从相同的起点到相同的终点, 沿着两条不 路径的关系? 注意2 一般不能将函数f (z)在以a为起点, 以b 解 积分路径的参数方程为 的正向. 重要结论：积分值与圆周的中心、半径无关. 注 此例的结果很重要！ §3.2 柯西积分定理 (?) 一、柯西基本定理 G 为 D 内的任意一条简单闭曲线， 上述定理又称为柯西-古萨(Cauchy-Goursat)基本定理。 (2) 定理中的条件还可以进一步减弱。 在 D 内解析， 一、柯西基本定理 G 为 D 内的任意一条简单闭曲线， 二、闭路变形原理 将柯西积分定理推广到二连域 从而有 在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在 区域内作连续变形而改变它的值， 称此为闭路变形原理。 二、闭路变形原理 闭路变形原理 G 为 D 内的一条“闭曲线”， 三、复合闭路定理 将柯西积分定理推广到多连域 在 D+C 上连续， 则 解 显然函数 例 计算积分 其中G为包含圆周 在复平面有两个奇点0和1, 并且G 包含了这两个奇点. 打洞! Cauchy定理 重要公式 Cauchy定理 重要 公式 （挖“奇点”法） 令 解 则 奇点为 的简单曲线， 四、路径无关性 可见，解析函数在单连域内的积分只与起点和终点有关， 则有 处处解析， 因此有 五、原函数 1. 基本概念及性质 五、原函数 2. 由变上限积分构成的原函数 3. Newton-Leibniz公式 复积分的换元积分公式 复积分的分部积分公式 练习 解 使用“凑微分” 解 利用分部积分法可得 练习 §3.3 Cauchy积分公式 3.3.1 问题的提出 3.3.2 Cauchy积分公式 实际问题： 如果测得地球表面各点的温度，能否测得地心的温度？如何测？ 寻求：由D边界上的函数值导出D内点的函数值的表达式. 数学模型 3.3.1 问题的提出 一、柯西积分公式 | 右边 - 左边 | 则 在D+ C 上连续， 则 一、柯西积分公式 定理 如果函数 在区域 D 内解析， D d G C 证明 (思路) 即只要 d 足够小，所证等式两边的差的模可以任意小， 由于左边与右边均为常数，与 d 无关，故等式成立。 在边界 C 上连续， 则 一、柯西积分公式 定理 如果函数 在区域 D 内解析， D C 意义 解析函数在其解析区域内的值完全由边界上的值确定。 换句话说，解析函数可用其解析区域边界上的值以一种 特定的积分形式表达出来。 则上式变为 是多连域。 一、柯西积分公式 应用 推出一些理论结果，从而进一步认识解析函数。 比如对于二连域 D , 则 解 二、平均值公式 则有 §3.4 解析函数的高阶导数 一、高阶导数定理 分析 则由柯西积分公式有 …… 一、高阶导数定理 应用 推出一些理论结果。 且 如图，作 C1 , C2两个小圆， 解 例 计算 二、柯西不等式 则 三、刘维尔定理 复变函数的积分 积分存在的 条件及计算 积分的性质 Cauchy积分定理 原函数 的概念 复合闭路定理 Cauchy 积分公式 高阶导数公式 Newton-Leibniz公式 1. Cauchy积分定理 2. 复合闭路定理 3. Cauchy积分公式与高阶导数公式 本章的重点 4. 复变函数积分的计算