复变函数与积分变换第三章-1.ppt

第三章复变函数的积分 * * 复变函数与积分变换 本章内容 §3.1 复积分的概念 §3.2 柯西积分定理 §3.3 柯西积分公式 §3.4 解析函数的高阶导数 §3.1 复积分的概念 §3.1.1 积分的定义 设C为平面上给定的一条光滑（或按段光滑）曲线。如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向，那么就把C理解为带有方向的曲线，称为有向曲线。 曲线C——从起点A到终点B的，方向为正方向； 曲线 ——从终点B到起点A，即曲线C的负方向 简单闭曲线的正方向是指曲线上的点P顺此方向沿曲线 前进时，邻近P点的曲线内部始终位于P点的左方。与 之相反的方向就是曲线的负方向。 有向曲线 闭曲线的正方向 定义 设函数 定义在区域D内，C为在区域D内起点为A， 终点为B的一条光滑的有向曲线。把曲线C任意分成n个弧段， 设分点为 在每个弧段 上任取一点 ，并作和 （3.1） 其中 图 3.1 极限存在，且此极限值不依赖于 的选择 也不依赖对C的分法，则称此极限值为f(z)沿曲线C自A到B的复积分. 记作 （3.2） 设 , 当 时，若和式的 沿C负方向(即由B到A)的积分则记作 ； 若C为闭曲线，则沿此闭曲线的积分记作 。 当C是x轴上的区间 ，而 时，这个积 分定义就是一元实变函数积分的定义. §3.1.2 积分存在的条件及其计算法 定理 设 在光滑曲线C上连续，则复 积分 存在，而且可以表示为 (3.3) [证] 将(3.1)式的实、虚部分开得 由于f(z)在C上连续, 从而u、v在C上连续，当??0时， 有 及 。于是上式右端极限存在， 且有 即(3.3)式成立。 式(3.3)在形式上可以看作是 与 相乘后求积分得到： 所以很容易记住。 (3.3) 式(3.3)说明两个问题： 当f(z)是连续函数而且C是光滑曲线时，积分 一定存在。 可通过两个二元实变函数的线积分来计算。 利用(3.3)式还可把复积分化为普通的定积分，设曲线C的参 数方程为： 将它代入(3.3)式右端得 即 (3.4) 如果C是由 等光滑曲线依次相互连接所 组成的按段光滑曲线，那么我们定义 (3.5) 今后我们所讨论的积分，如无特别说明，总假定被积函数是连续的，曲线C是按段光滑的。 【例3.1】计算 ，其中C为从原点到 的直线段。 解: 直线的方程可写作 或 在C上， ， ，于是 因为 容易验证，右边两个线积分都与路线C无关，所以 的值， 不论C是怎样的连接原点到 的曲线，都等于 。 【例3.2】计算 ，其中C为以 为中心， 为半径 的正向圆周，n为任何整数。 解: C的方程可写作 所以 此结果很重要，以后要经常用到。 其特点是积分结果与积分路径圆周的中心和半径无关。 【例3.3】计算 的值，其中C为 1) 从原点到点 的直线段 ; 2) 沿从原点到点 的线段 , 与从 到 的直线段 所接成的折线。 解: 1) : 2) : : §3.1.3 复积分的性质 复变函数定积分的性质： ； （ 为复常数）；