复变函数与积分变换课件6.1 共形映射的概念.ppt

* 第六章 共形映射 * 第六章 共形映射 §6.1 共形映射的概念 第六章 共形映射 §6.2 共形映射的基本问题 §6.1 共形映射的概念 §6.3 分式线性映射 §6.4 几个初等函数构成的共形映射 §6.1 共形映射的概念 本章将从几何的角度来研究复变函数，特别是要弄清楚 解析函数的几何映射特征。 具体地说， 平面上的曲线或者区域经映射 后， 在 平面上的象到底发生了什么变化？ §6.1 共形映射的概念 一、伸缩率与旋转角 二、导数的几何意义 三、共形映射 (平均伸缩率) 一、伸缩率与旋转角 1. 伸缩率 映射后， 可以看出，曲线被伸缩和旋转。 如图，过 点的曲线 经 定义 称 为曲线 经 映射后 在 点的伸缩率 。 变成了过 点的曲线 切线 定义 称 为曲线 经 映射后 在 点的旋转角。 2. 旋转角 一、伸缩率与旋转角 如图，过 点的曲线 经 映射后，变成了过 点的曲线 可以看出，曲线被伸缩和旋转。 切线 这两个指标定量地刻画了曲线经映射后的局部变化特征。 二、导数的几何意义 设函数 在区域 D 内解析， 且 分析 由 有 切线 切线 二、导数的几何意义 设函数 在区域 D 内解析， 且 分析 1. 导数的几何意义 为曲线 在 点的伸缩率。 为曲线 在 点的旋转角。 切线 切线 切线 切线 二、导数的几何意义 2. 伸缩率不变性 任何一条经过 点的曲线的 3. 旋转角不变性 伸缩率均为 任何一条经过 点的曲线的 旋转角均为 即 二、导数的几何意义 切线 切线 2. 伸缩率不变性 任何一条经过 点的曲线的 3. 旋转角不变性 伸缩率均为 任何一条经过 点的曲线的 旋转角均为 4. 保角性 由 即 保持了两条曲线的交角的大小与方向不变。 即 三、共形映射 1. 第一类保角映射 定义 若函数 在区域 D 内满足： (2) 伸缩率不变性， (1) 保角性 , (保大小, 保方向)； 则称函数 为区域 D 内的 第一类保角映射。 且 若函数 在区域 D 内解析， 结论 则函数 为 区域 D 内的第一类保角映射。 P138 定义 6.1 P138 定理 6.1 三、共形映射 1. 第一类保角映射 2. 第二类保角映射 定义 若函数 在区域 D 内满足： 则称函数 为区域 D 内的 第二类保角映射。 (2) 伸缩率不变性， (1) 能保持两条曲线的交角的大小 不变，但方向相反； P138 定义 6.1 三、共形映射 1. 第一类保角映射 2. 第二类保角映射 3. 共形映射 若函数 为区域 D 内的第一类保角映射， 定义 则称 为区域 D 内 时， 的共形映射。 关键 要求函数还必须是一一映射(即双方单值)。 且当 P138 定义 6.2 (保角映射的来历?) (1) 在 点， 因此，函数 在 处 其伸缩率为 2，旋转角为 (2) 在 点， 因此，函数的保角性不成立。 的伸缩率不变，且具有保角性， 解 函数 在复平面上处处解析，且 P137 例6.1 解 (1) 由于 因此，它具有伸缩率不变性； (2) 显然，该函数能保