复变函数论第三版钟玉泉PPT第3章.ppt

* * 例3 解 根据调和函数的定义可得 所求解析函数为 * * 用不定积分法求解例1中的解析函数 ，其 例4 解 * * 例5 解 用不定积分法求解例2中的解析函数 ,其 * * 例6 解 两边同时求导数 所以上面两式分别相加减可得 注1 任意两个调和函数u与v所构成的函数u+iv不一定是解析函数. 注2 满足柯西—黎曼方程ux= vy, vx= –uy,的v称为u的共轭调和函数, u与v注意的是地位不能颠倒. * * 例6 解 所以积分与路线无关, 由牛顿-莱布尼兹公式知, 一、问题的提出 * * 根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线 C 的变化 而改变,求这个值。 第三节 柯西积分公式及其推论 * * 二、柯西积分公式 定理 证 此式称为柯西积分公式 * * 证 根据闭路变形原理知, 左端积分的值与 R 无关, 所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能. [证毕] * * (1) 把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示. (这是解析函数的又一特征) (2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积分表达式. (这是研究解析函数的有力工具) (3) 解析函数的平均值定理：一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值. 则有 柯西积分公式的重要性在于:一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示, 所以它是研究解析函数的重要工具. 三、典型例题 * * 例1 解 由柯西积分公式 * * 例2 解(1) 由柯西积分公式 由柯西积分公式 这种解法对吗？为什么？ * * 例3 解 由柯西积分公式 * * 例4 解 由闭路复合定理, 得 * * 例5 解 根据柯西积分公式知, 比较两式得 * * 例6 解 被积函数 是多值函数，支点为 f(z)的原函数 仍是多值函数，在代入上、下限时需要考虑对应的单值分支。 0 1 * * 其中积分方向应是顺时针方向. 柯西积分公式对无界区域也是成立的， 五、解析函数的无穷可微性 问题: (1) 解析函数是否有高阶导数? (2) 若有高阶导数, 其定义和求法是否与实变函数相同? 回答: (1) 解析函数有各高阶导数. (2) 高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示, 这与实变函数完全不同. 解析函数高阶导数的定义是什么? * * 定理 证 根据导数的定义, 从柯西积分公式得 * * * * 再利用以上方法求极限 从而证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数. 依次类推, 利用数学归纳法可证 [证毕] * * 高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分. 例1 解 * * 由复合闭路定理 * * 例2 解 * * 例3 解 由柯西积分定理得 由柯西积分公式得 * * 例4 解 * * 六、柯西不等式与刘维尔(Liouville)定理 定理1 (柯西不等式)设 在区域D内解析， 为D内 一点，区域 包含于D，则有 其中 证明：在 上应用高阶导数公式，则有 由柯西不等式，容易得到刘维尔定理。 刘维尔定理:z平面上解析且有界的函数 必为常数． 由刘维尔定理，可以证得到代数学基本定理。 * * 代数学基本定理　在z平面上，n次多项式 （ ）至少有一个零点． 证(反证法)假设 在z平面上无零点，由于 在平面上解析， 从而 在z平面上也是解析的．其次，由于 所以 ，于是 ，使得 ， 。 又因为 在 上连续，故 ，使得 ， 从而在z平面上有 ，即 在z平面上解析且有界， 因此根据刘维尔定理， 为常数，故 亦为常数， 这与已知 为多项式矛盾，定理得证． * * 七、摩勒拉(Morera)定理 柯西积分定理说明，只要 在单连通区域D内解析，则对D内任一围线均有 。我们现在证明其逆也是正确的． 摩勒拉定理　设函数 在单连通区域D内连续，且对D内任一围线C，有 ，则