Finsler流形上的调和函数.pdf

浙 江 大 学 学 报 (理 学版 ) 第 37卷第 3期 JournalofZhejiangUniversity(ScienceEdition) http：／／www．journals．zju．edu．cn／sci VM0J37No．3 2010年 5月 av2010 Finsler流形上的调和函数 张 剑 锋 (丽水学院 数学系 ，浙江 丽水 323000) 摘 要 ：研 究 了Finsler流形 (M，F)上 的余微分算子 ，并在此基础上对 Finsler流形上的调和 函数进行探讨 关 键 词 ：Finsler流形；余微分算子 ；调和函数 中图分类号 ：O 186 文献标 志码 ：A 文章编号 ：1008—9497(2010)03～269—05 ZHANGJian-feng(DepartmentofMathematics，LishuiUniversity，Lishui323000，ZhejiangProvince，China) TheharmonicfunctionontheFinslermanifolds．JournalofZh@angUniversity(ScienceEdition)，2010，37(3)：269—273 Abstract：BydefiningthecodifferentialoperatorthroughanL innerproduct，theLaplacianoffunctionisdefinedby usingthecodifferentialoperator，andsomegoodresultsontheharmonicfunctionhavebeenfourd． KeyWords：Finslermanifolds；codifferentialoperator；harmonicfunction 在微分流形上有许多 内蕴度量 ，例 如复流形 的 较好的表达式 ，于是定义了Finsler流形上关于函数 Cara—theodory度量和 Kobayashi度量 ，一般说来它 的Laplacian算子 ，即建立 了调和函数 的概念．进一 们不是 Riemann度量 ，而是 Finsler度量．Finsler度 步可以发现 ，这样定义 的 Laplacian算子 的确是 白 量是没有二次型限制的黎曼度量 ，Riemann在 1854 共轭二阶椭圆算子．同时，考虑文献 [5]中的特殊情 年的就职演说 中已经涉及了这种情形．以 Finsler度 况 ，即 目标流形是一维实空间时的调和映射 ，可 以发 量为基础 的几何 学被称 为 Finsler几何．Finsler几 现它和本文定义的调和函数是完全一致的．这说明 何在生物 、物理等方面都有应用．近年来 ，Finsler几 本文定义的调和 函数的确是 能量 函数的临界点．利 何重新得到 了重视和发展l1 ]． 用这个调和函数的定义 ，证明了极大值原理． 黎曼流形间的调和映射是微分几何和数学物理 的重要 内容 ，而关于 Finsler流形之间或 Finsler流 1 准备知识 形与黎曼流形之 间也都有 了一些很好 的研 究成 果口 ]．但 由于 Finsler流形的许多性质不仅 与点 ， 设 M 为C 的m维流形 ，TM — TM ＼{0}．函数 而且与方 向有关 ，几何分析方向的研究不是太多，其 F：TM — E0，CXD)被称为M 的Finsler结构 ，如果 F 中一个关键 问题就是如何定义 Finsler流形上 的 满足