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第26卷第 l期 大 学 数 学 Vo1．26，№ ．1 2010年 2月 COILEGE M ATHEMATICS Feb．201O Lorentz空间型中具有常数量曲率类空超曲面 宋卫东， 汪兴上 (安徽师范大学 数学系，安徽 芜湖 241000) [摘 要]研究了Lorentz空间型中具有常数量曲率的紧致类空超曲面，得到了这类超曲面的内蕴刚性 定理． [关键词]Lorentz空间型；类空超曲面；数量 曲率；等参 [中图分类号]O186．12 [文献标识码]A [文章编号]1672—1454(2010)01—0086—04 1 引 言 指标为 1的伪黎曼流形 Nr 称为 Lorentz流形，当其截面曲率 C为常数时，N 称为 Lorentz空 间型，按照 C 为正、负 和零，N 分别为 deSitter空 间 S (C)、反 deSitter空 间 Hi (C)和 Minkowski空间R ～．Cheng和 Yau最早研究了球面S (C)(CO)中具有常数量曲率超 曲面[1j，引 入了一个 自共轭的二阶椭圆算子 口．研究伪黎曼流形或许 比研究黎曼流形更有意义，它们两者虽在研究 方面有许多类似之处 ，但也有截然不同的地方，Minkowski空间中极大类空超曲面的Bernstein定理 ] 更是典型的一例．著名的Goddarde猜想是 ：deSitter空间中具有常数平均 曲率 H 类 空超 曲面是全脐 的，Akutagawa获得 ]：当 nH 4(一1)(7z≥3)及 H。≤1(一2)时 ，Goddard猜想是正确．同时 Ramanathan指出Hj，当 =2，H。l时，Goddard猜想是错误 的．后来 ，人们一直在Goddard猜想上化 费了许多精力 ，但问题至今未彻底解决．本文考虑 Lorentz空间型中具有常数量曲率的紧致类空超 曲面 vim，得到了如下结果． 定理 1 设 是等距浸入 Lorentz空间型 N (c)中具有常标准数量曲率尺的紧致类空超曲面， 且 R≤C．若 S≤2Cv 一1，则 (i)M 是全脐的等参超曲面 ，且当C0时，M 等距于 维欧氏空间R 、 维球面S 或 维双曲 空间H ，当C--0时，M”等距于 维欧氏空问或 维双 曲空问，当C0时， 等距于 维双曲空间． 或 (ii)S一2C,／7—1，Mo等距于双 曲柱面H (1一cothr)×S一 (1一tanhr)． 2 准备工作 本文约定各类指标的取值范围如下 ： 1≤A，B，C，…，≤”+1； 1≤ ，，k，…，≤ ． 设 N7 (C)为指标为 l的常曲率c的 +1维完备 Lorentz空间型，M”是等距浸人到～ (C)中 的 维类空超曲面，即N (C)中的伪黎曼度量诱导了M 上的黎曼度量．在 N (C)中选取局部伪黎 曼正交标架场 {e}，使得 [收稿 日期]2008—07—30； [收稿 日期]2009—1220 [基金项目]安徽省教育厅 自然科学研究重点项 目(kj2008A05ZC)；安徽省教育厅教学研究项 目(2005165) 故 第 1期 宋卫 东，等 ：Lorentz空间型中具有常数量曲率类空超 曲面 87 (ei，e，一 ， (P，co+1一0， (e+1，P+1一 一 1， 且 }与M”相切．又设 {∞n)为 {P)的对偶标架场 ，则 N 。。(c)的结构方程为 = 一 ∑￡邶八。， A月+8A=o，