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第26卷第 l期 大 学 数 学 Vo1.26,№ .1
2010年 2月 COILEGE M ATHEMATICS Feb.201O
Lorentz空间型中具有常数量曲率类空超曲面
宋卫东, 汪兴上
(安徽师范大学 数学系,安徽 芜湖 241000)
[摘 要]研究了Lorentz空间型中具有常数量曲率的紧致类空超曲面,得到了这类超曲面的内蕴刚性
定理.
[关键词]Lorentz空间型;类空超曲面;数量 曲率;等参
[中图分类号]O186.12 [文献标识码]A [文章编号]1672—1454(2010)01—0086—04
1 引 言
指标为 1的伪黎曼流形 Nr 称为 Lorentz流形,当其截面曲率 C为常数时,N 称为 Lorentz空
间型,按照 C 为正、负 和零,N 分别为 deSitter空 间 S (C)、反 deSitter空 间 Hi (C)和
Minkowski空间R ~.Cheng和 Yau最早研究了球面S (C)(CO)中具有常数量曲率超 曲面[1j,引
入了一个 自共轭的二阶椭圆算子 口.研究伪黎曼流形或许 比研究黎曼流形更有意义,它们两者虽在研究
方面有许多类似之处 ,但也有截然不同的地方,Minkowski空间中极大类空超曲面的Bernstein定理 ]
更是典型的一例.著名的Goddarde猜想是 :deSitter空间中具有常数平均 曲率 H 类 空超 曲面是全脐
的,Akutagawa获得 ]:当 nH 4(一1)(7z≥3)及 H。≤1(一2)时 ,Goddard猜想是正确.同时
Ramanathan指出Hj,当 =2,H。l时,Goddard猜想是错误 的.后来 ,人们一直在Goddard猜想上化
费了许多精力 ,但问题至今未彻底解决.本文考虑 Lorentz空间型中具有常数量曲率的紧致类空超 曲面
vim,得到了如下结果.
定理 1 设 是等距浸入 Lorentz空间型 N (c)中具有常标准数量曲率尺的紧致类空超曲面,
且 R≤C.若 S≤2Cv 一1,则
(i)M 是全脐的等参超曲面 ,且当C0时,M 等距于 维欧氏空间R 、 维球面S 或 维双曲
空间H ,当C--0时,M”等距于 维欧氏空问或 维双 曲空问,当C0时, 等距于 维双曲空间.
或
(ii)S一2C,/7—1,Mo等距于双 曲柱面H (1一cothr)×S一 (1一tanhr).
2 准备工作
本文约定各类指标的取值范围如下 :
1≤A,B,C,…,≤”+1; 1≤ ,,k,…,≤ .
设 N7 (C)为指标为 l的常曲率c的 +1维完备 Lorentz空间型,M”是等距浸人到~ (C)中
的 维类空超曲面,即N (C)中的伪黎曼度量诱导了M 上的黎曼度量.在 N (C)中选取局部伪黎
曼正交标架场 {e},使得
[收稿 日期]2008—07—30; [收稿 日期]2009—1220
[基金项目]安徽省教育厅 自然科学研究重点项 目(kj2008A05ZC);安徽省教育厅教学研究项 目(2005165)
故
第 1期 宋卫 东,等 :Lorentz空间型中具有常数量曲率类空超 曲面 87
(ei,e,一 , (P,co+1一0, (e+1,P+1一 一 1,
且 }与M”相切.又设 {∞n)为 {P)的对偶标架场 ,则 N 。。(c)的结构方程为
= 一 ∑£邶八。, A月+8A=o,
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