一类可解子群的结构与Fuchs方程的可积性.pdf

2010年 4月 湘南学院学报 Apr．，2010 第 31卷第 2期 JournalofXian~lanUniversity Vo1．31No．2 一 类可解子群的结构与 Fuchs方程 的可积性 刘 颖 ，张绍 飞 (北京航空航天大学 数学系，北京 100191) 摘 要：给出了SL(3k，C)中一类特殊的具有两个生成元的可解子群的结构定理．由单值群的可解性与Fuchs方程的 可积性之间的关系，研究环面上只有一个正则奇点的3k阶的Fuchs系统的可积性 关键词：特殊可解群；可解群；Fuchs系统 ；单值群；可积性． 中图分类号：0152．3 文献标识码：A 文章编号：1672—8173(2010)o2—0001—04 1 引 言 可积性是微分方程理论的核心问题之一 ．19世纪初人们通过对每一个多项式建立一个相应 的Galois群 ， 并将该多项式能否用根式可解与对应的Galois群的可解性联系起来证明了5次及5次以上的多项式一般不能 用根式可解．在此思想基础上，Liouville证明了许多微分方程都不能用 “积分法”求解，但类 比多项式的Galois 理论基于微分代数的可积性理论基本思想就是对每一个微分方程 (组)建立一个相应的Galois群，并将Galois 群的可解性与方程的可积性联系起来 ．这方面研究多集中在 Fuchs系统上，因为在 Fuchs系统中单值群可在一 定意义上被当作 Galois群 ．针对此系统 已取得了基本的结果——Kh0vanskiy定理． Khovanskiy定理 如果一个 Fuchs系统的单值群含有有限指数的可解正规子群，则该系统是可用积分法积 分的．如果单值群不具有这种性质，则该系统甚至不能用 广“义积分法”积分，这就是说该系统的解不能用方程 的系数通过解代数方程 ，积分以及具有任意多变元的整函数的复合来表示 ． 而由Khovanskiy定理，对一个 Fuchs系统可积性 问题的研究可以转化为其对应得单值群的可解性问题的 研究 ． 对于具有两个生成元的 SL(2，C)可解子群构造及对 Fuchs系统的可积性 已有 了成熟的结果 ¨。J，对于 SL(3，C)只找到了一类可解子群的结构并且研究了Fuchs型方程的可积性_3．本文对可解群的生成元的阶数进 行了推广，给出了SL(3k，C)中一类特殊的具有两个生成元的可解子群的结构定理，进而研究3k阶的Fuchs系 统的可积性 ． 2 主要结果 GL(3k，C)= {A ∈C妯x3 IdetA≠0)，SL(3k，C)= {A ∈C x3 ldetA =1) = {委[；]，[一三一量；]t，6∈c，6≠。)， 收稿 日期 ：2009—09—22 作者简介：刘 颖(1983一)，女，河北邯郸人，北京航空航天大学数学与动力系统科学系研究生，研究方向：抽象代数 · · Al1 Al2 1 0 A22 A2 D ： A ∈ K，i= 1，2，．．．k ● ● ● 0 0 0 A船 Al1 A12 A1 0 A A2^ 设 = A ∈SL(3，C)，i=1，2