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2010年 4月 湘南学院学报 Apr.,2010
第 31卷第 2期 JournalofXian~lanUniversity Vo1.31No.2
一 类可解子群的结构与 Fuchs方程 的可积性
刘 颖 ,张绍 飞
(北京航空航天大学 数学系,北京 100191)
摘 要:给出了SL(3k,C)中一类特殊的具有两个生成元的可解子群的结构定理.由单值群的可解性与Fuchs方程的
可积性之间的关系,研究环面上只有一个正则奇点的3k阶的Fuchs系统的可积性
关键词:特殊可解群;可解群;Fuchs系统 ;单值群;可积性.
中图分类号:0152.3 文献标识码:A 文章编号:1672—8173(2010)o2—0001—04
1 引 言
可积性是微分方程理论的核心问题之一 .19世纪初人们通过对每一个多项式建立一个相应 的Galois群 ,
并将该多项式能否用根式可解与对应的Galois群的可解性联系起来证明了5次及5次以上的多项式一般不能
用根式可解.在此思想基础上,Liouville证明了许多微分方程都不能用 “积分法”求解,但类 比多项式的Galois
理论基于微分代数的可积性理论基本思想就是对每一个微分方程 (组)建立一个相应的Galois群,并将Galois
群的可解性与方程的可积性联系起来 .这方面研究多集中在 Fuchs系统上,因为在 Fuchs系统中单值群可在一
定意义上被当作 Galois群 .针对此系统 已取得了基本的结果——Kh0vanskiy定理.
Khovanskiy定理 如果一个 Fuchs系统的单值群含有有限指数的可解正规子群,则该系统是可用积分法积
分的.如果单值群不具有这种性质,则该系统甚至不能用 广“义积分法”积分,这就是说该系统的解不能用方程
的系数通过解代数方程 ,积分以及具有任意多变元的整函数的复合来表示 .
而由Khovanskiy定理,对一个 Fuchs系统可积性 问题的研究可以转化为其对应得单值群的可解性问题的
研究 .
对于具有两个生成元的 SL(2,C)可解子群构造及对 Fuchs系统的可积性 已有 了成熟的结果 ¨。J,对于
SL(3,C)只找到了一类可解子群的结构并且研究了Fuchs型方程的可积性_3.本文对可解群的生成元的阶数进
行了推广,给出了SL(3k,C)中一类特殊的具有两个生成元的可解子群的结构定理,进而研究3k阶的Fuchs系
统的可积性 .
2 主要结果
GL(3k,C)= {A ∈C妯x3 IdetA≠0),SL(3k,C)= {A ∈C x3 ldetA =1)
= {委[;],[一三一量;]t,6∈c,6≠。),
收稿 日期 :2009—09—22
作者简介:刘 颖(1983一),女,河北邯郸人,北京航空航天大学数学与动力系统科学系研究生,研究方向:抽象代数
· ·
Al1 Al2
1
0 A22 A2
D : A ∈ K,i= 1,2,...k
● ● ●
0 0 0 A船
Al1 A12 A1
0 A A2^
设 = A ∈SL(3,C),i=1,2
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