5-1-向量与矩阵的范数.ppt

特征值估计 粗略估计 圆盘定理 例 2：已知矩阵序列： 则 的充要条件是 。 证明： 设 的Jordan标准形 其中 于是 显然， 的充要条件是 又因 其中 于是 的充要条件是 。 因此 的充要条件是 矩阵的幂级数 定义：设 ，如果 个常数项级数 都收敛， 则称矩阵级数 收敛。如果 个个常数项级数 都绝对收敛， 则称矩阵级数 绝对收敛。 例 ： 如果设 ，其中 那么矩阵级数 是收敛的。 定理：设 ，则矩阵级数 绝对收敛的充分必要条件是正项级数 收敛，其中 为任意一种矩阵范数。 证明：取矩阵范数 那么对每一对 都有 因此如果 收敛，则对每一对 常数项级数 都是收敛的，于是矩阵级数 绝对收敛。 反之，若矩阵级数 绝对收敛，则对每一对 都有 于是 根据范数等价性定理知结论对任何一种范数都正确。 定义：设 ，称形如 的矩阵级数为矩阵幂级数。 定理：设幂级数 的收敛半径为 为 阶方阵。若 ，则矩阵幂级数 绝对收敛；若 ，则 发散。 证明： 设 的Jordan标准形为 其中 于是 所以 其中 当 时，幂级数 都是绝对收敛的，故矩阵幂级数 绝对收敛。 当 时，幂级数 发散，所以 发散。 定理：矩阵幂级数 绝对收敛的充分必要条件是 。且其和为 。 例 1 ： （1）求下面级数的收敛半径 （2）设 判断矩阵幂级数 的敛散性。 解：设此级数的收敛半径为 ，利用公式 容易求得此级数的收敛半径为2。而 。所以由上面的定理可知矩阵幂级数 绝对收敛。 分别计算这两个矩阵的 ， ， 和 。 例 2 ：证明：对于任何矩阵 都有 如何由矩阵范数构造与之相容的向量范数？ 定理：设 是矩阵范数，则存在向量范数 使得 证明：对于任意的非零向量 ，定义向量范数 ，容易验证此定义满足向量范数的三个性质，且 例：已知矩阵范数 求与之相容的一个向量范数。 解：取 。设 那么 矩阵的谱半径及其性质 定义：设 ， 的 个特征值为 ，我们称 为矩阵 的谱半径。 例 1 ：设 ，那么 这里 是矩阵 的任何一种范数。 例 2 ：设 是一个正规矩阵，则 证明：因为 于是有 例 3 ：设 是 上的相容矩阵范数。证明： （1） （2） 为可逆矩阵， 为 的特征值 则有 例 5 ：如果 ，则 均为可逆矩阵，且 这里 是矩阵