09【数学】2.5等比数列的前n项和课件(新人教A必修5).ppt

精彩下回见 * 儋州市第三中学 黎 永 等差数列 {an} 等比数列 {an} 定义 an+1 - an = d ( 常数 ) an+1 ／ an = q ( 不为零的常数 ) 通项 an = a1 + ( n – 1 ) d an - am = ( n – m ) d an = a1 qn-1 an ／ am = qn-m ⑴公式 ⑵推导 方法 ①归纳猜想验证法 ②首尾相咬累加法 ①归纳猜想验证法 ②首尾相咬累乘法 性质 若 m+n=r+s , m、n、r、s∈N* 则 am + an = ar + as 若 m+n=r+s , m、n、r、s∈N* 则 am · an = ar · as 前n项和Sn ⑴公式 ⑵推导 方法 （ a1 + an ）n Sn = 2 = na1 + n(n – 1) 2 d 倒序相加法 问题：等比数列｛an｝，如果已知a1 , q , n 怎样表示Sn? Sn = a1 + a2 + · · · + an 解： = a1 + a1q + a1q2 + · · · + a1 qn-1 = a1 ( 1 + q + q2 + · · · + qn-1 ) 尝试： S1 = a1 S2 = a1 + a1q = a1 ( 1 + q ) S3 = a1 + a1q + a1q2 = a1 ( 1+ q + q2 ) 讨论q≠1时 a1 ( 1 – q3 ) 1 - q = a1 ( 1 – q2 ) 1 - q = a1 ( 1 – q1 ) 1 - q = 猜想： Sn a1 ( 1 – qn ) 1 - q = 验证： an = Sn - Sn-1 a1 ( 1 – qn ) 1 - q = - a1 ( 1 – q n-1 ) 1 - q = a1 qn-1 a1 (q n-1 – qn ) 1 - q = 当n≥2时 当n=1时 a1 = S1 亦满足上式 ∴ an = a1 qn-1 ∴ Sn ( q≠1 ) a1 ( 1 – qn ) 1 - q = 相减 ( 1 – q ) Sn = a1 - a1 qn = a1 ( 1 – qn ) ∴当 1 – q ≠ 0 , 即 q ≠ 1 时， Sn a1 ( 1 – qn ) 1 - q = 当 q = 1 时， Sn = n a1 错项相减法： Sn = a1 + a1q + a1q2 + · · · + a1 qn-1 q Sn = a1q + a1q2 + · · · + a1 qn-1 + a1qn 等比数列｛an｝前n项和公式为 当q≠1时 Sn a1 ( 1 – qn ) 1 - q = 当q＝1时 Sn = n a1 = a1 - an q 1 - q 练习： （1） 1＋2＋4＋ … ＋263 ＝ （2）1－2＋4 ＋ … ＋(－2)n-1 = （3）等比数列 {an} 中，a1 = 8 , q = , an = , 则Sn= （4）等比数列 {an} 中，a1 = 2 ，S3=26 , 则 q = 264-1 1 – ( - 2 ) n 3 31 2 - 4 或 3 例1 ： 求通项为 an = 2n + 2n -1 的数列的前n项和 解： 设 bn = 2n , 且对应的前n项和为 Cn=2n-1 , 对应的前n项和为 ′ S n ″ S n 则 an = bn ＋Cn ，Sn = + ′ S n ″ S n ∴ ′ S n = 2 ( 1 – 2 n ) 1 – 2 = 2 ( 2n – 1 ) = n2 ∴ Sn = ′ S n ″ S n + = 2n+1 + n2 - 2 ∴ ″ S n = 1 + ( 2n - 1 ) 2 n 例2：求和 ( x +