习题221设是个正数证明由定义的函数是一个范数证明只需.docVIP

习题2 2.1 设是个正数。证明：由 定义的函数是一个范数。 证明 只需验证满足定义2.1.1的三个条件。其中（1）和（2），即正定性和齐次性显然成立，下面给出（3）三角不等式的证明。像2范数的证明一样，要证明三角不等式，需要用到Cauchy-Schwartz不等式 欲证明这个不等式，只需证明：对任意的，有下列等式成立 用数学归纳法证明。当时，等式显然成立。不妨归纳假设当时，等式仍然成立，即有 　　　　　（E2.1） 现在来考虑时的情形，注意到 至此，我们便证明了前述等式。亦即证明了Cauchy-Schwartz不等式。 又因为是个正数，因此有 从而对，我们有 2.2 证明：当且仅当和线性相关且时，才有. 证明 因为对任意的 于是， 当且仅当 由等式（E2.1）可知，当且仅当 ， 即，对任意的，此式成立不外乎二种情形：或；或；或.即和线性相关。 2.3 证明：如果是按列分块的，那么 证明 因为 . 2.4 证明： 证明 记，那么，根据第3题的结果我们有 根据Frobenius范数定义易知，对. 于是 2.5 设是由 定义的。证明是矩阵范数，并且举例说明不满足矩阵范数的相容性。 证明 （1）证明是矩阵范数。因为 显然满足矩阵范数定义中的前三条：正定性、齐次性、三角不等式。下面我们证明还满足“相容性”。对任意，记，，且 则，，且 （2）一个不满足矩阵范数的相容性的例子。取，，则。于是，，从而 2.6 证明：在上，当且仅当是正定矩阵时，函数是一个向量范数。 证明 由于A是正定矩阵，不妨设是A的特征值，是其对应的标准正交特征向量，即 显然，是线性无关的。因此，=span{}. 记，，那么，且对任意，总有使. 命题的充分性是很显然的。因为是上的向量范数，则由其正定性可知A必为正定矩阵。 现在我们来证明命题的必要性。即假设是正定矩阵，则函数满足向量范数定义的三条性质： 正定性。由A的正定性，正定性显然成立。 齐次性。对任意的，因为，故有. 三角不等式。对于任意给定的，有，使 应用习题2.1的结果，得 即有 2.7 设是上的一个向量范数，并且设. 证明：若，则是上的一个向量范数。 证明 当时，当且仅当是上的零向量。再由假设是上的一个向量范数，于是可证得满足： 正定性。事实上，对任意，，而且当且仅当. 齐次性。事实上，对所有的和有，因此. 三角不等式。事实上，对所有的有，因此有 2.8 若且，证明 . 证明 首先用反证法，证明的存在性。设奇异，则 有非零解，且，于是，从而. 这与假设矛盾。 现在来证明命题中的不等式。注意到：，且 故有 即 2.9 设是由向量范数诱导出的矩阵范数。证明：若非奇异，则 证明 因为是向量范数诱导的矩阵范数，故=1，且对和，有 于是对，有，且当时，有 . 　　　　　　　　　　　　　　　　　（E2.2） 现在只需证明：存在且，使即可。根据算子范数的定义，我们不妨假设，使. 再取，显然，且 　　　　　　　　　　　　　（E2.3） 综合(E2.2)和(E2.3)得 2.10 设是的LU分解。这里，设和分别表示和的第行，验证等式 并用它证明 [解] 记 于是 注意到：. 则有 现在来证明因为 2.11 设 （１）计算； （２）选择，使得 而且很小，但却很大； （3）选择，使得 而且很小，但却很大。 [解] （1）显然 从而，于是 选取：，则可计算得 选取：，则可计算得 . 2.12 证明对任意的矩阵范数都有，并由此导出 [证明] 由定理2.1.6（1）可知，对任意矩阵范数都有，而，于是 ， 从而 . 2.13 若和都是非奇异的，证明 . [证明] 因为 所以，根据矩阵范数的相容性可得 . 2.14 估计连乘中的上界. [解] 假定那么 则 由定理2.3.3，若假定，则 ， 从而 . 2.15 证明：若，则 其中 [证明] 由定理23.2得 以此类推，我们有 其中： 令 ，那么 再由定理2.3.3知 2.16 设，而且 证明： 其中的元素满足 [证明] 因为 由例2.3.1的结果我们可以得到 其中 再由定理2.3.3得 令，则 注意到 从而得到 其中. 2.17 证明：若是维向量，则，其中 [证明] 由定理2.3.2可知，对一切，有 下面对用数学归纳法证明。当=1时，命题显然成立。 假设当时，命题仍然成立，即有 那么当时，我们有 ， 其中， 于是 ， 从而 由介值定理显然存在，使 即当时，命题亦成立。