函数逼近与函数插值.pdfVIP

第六章 函数逼近与函数插值 本章介绍函数逼近与插值的有关理论和算法. 函数逼近问题与插值问题两者既有联系 又有区别，它们都是用较简单的函数来近似未知的、或表达式较复杂的函数. 一般来说，函 数逼近是要在整个区间、或一系列离散点上整体逼近被近似函数，而在进行插值时，则须保 证在若干自变量点上的函数值与被近似函数相等. 6.1 函数逼近的基本概念 进行函数逼近一般是在较简单的函数类Φ 中找一个函数 ()来近似给定的函数 () ，以 ( ) 使得在某种度量意义下误差函数 − ()最小. 被逼近函数 ()可能是较复杂的连续函 数，也可能是只在一些离散点上定义的表格函数，而函数类Φ可以是多项式、分段多项式、 三角函数、有理函数，等等. 函数逼近问题中度量误差的手段主要是函数空间的范数，下面 先介绍函数空间的范数、内积等有关概念，然后讨论函数逼近问题的不同类型. 6.1.1 函数空间 线性空间的概念大家都很熟悉，其定义中包括一个元素集合和一个数域，以及满足一定 运算规则的 “加法”和“数乘”运算. 简单说，若这个元素集合对于 “加法”和“数乘”运 算封闭，则为一线性空间. 线性空间的元素之间存在线性相关和线性无关两种关系，进而又 有空间的基和维数的概念. [ ] 在这里我们先考虑连续函数形成的线性空间. 例如 , 按函数加法、以及函数与实数 [ ] 乘法，构成一个线性空间. 对于[a,b]区间上所有k 阶导数连续的函数全体 , ，也类似地 构成一个线性空间. 我们一般讨论实数函数，因此对应的是实数域ℝ，若讨论复数函数，则 相应的是复数域ℂ. 另外，与线性代数中讨论的向量空间ℝ 不同，连续函数空间是无限维的. [ ] 对线性空间可以定义范数的概念（见 3.1.2 节）. 针对实连续函数空间 , ，与向量 空间类似，可定义如下三种函数的范数(function norm)： 1) ∞-范数 y ( ) [ ] ‖ ( ) ‖ 设 ∈ , ， 则 ∞ = max f (x ) f (x ) | ( ) | max [ ] . ∈ , 其几何意义如图 6-1 所示，即函数值绝 对值的最大值. a b x 2) 1-范数 ‖ ( ) ‖ | ( ) | 图6-1 函数 () 的∞-范数. 1 = ∫ . 其几何意义如图 6-2 所示，即函数曲线 y f (x ) 与横轴之间的面积总和. A f (x ) 1 3) 2-范数 2 1/2 ‖ ( ) ‖ ( ) 2 = [∫ ]