清华大学(第5版)数值分析第3章函数逼近.pptVIP

* 二、最小二乘法的基本原理 具体的做法是求 S(x) 使 几何意义: 求在给定点 x0, x1,…, xm 处与点(x0,y0), (x1,y1), … ,(xm, ym) 的距离平方和最小的曲线 y =S(x),这就是最小二乘曲线拟合问题. * 1.定义 对给定的一组数据(xi,yi)(i=0,1,…,m),在上述集合?中求S(x), 使其满足 这就是一般的线性最小二乘拟合问题. * 2.求法 由多元函数求极值的必要条件, 可得 即： 称为正规方程组或法方程组. * 记 则 * 可用矩阵表示为： * * 矩阵形式为 称之为法方程组或正规方程组. * 例1 测得铜导线在温度 时的电阻 如表1，求电阻R与温度T的近似函数关系R=a0+a1T。 表1 85.10 83.90 82.35 80.80 79.25 77.80 76.30 50.0 45.1 40.0 36.0 30.1 25.0 19.1 6 5 4 3 2 1 0 i * 列表如下 * 故得R与T的拟合直线为 R=70.572+0.921T 正规方程组为 解方程组得 * 利用上述关系式，可以预测不同温度时铜导线 的电阻值。例如由R=0 得T= ，即预测温度 时，铜导线无电租。 R=70.572+0.921T * 例2 已知实验数据如下表 试用最小二乘法求它的二次拟合多项式 4 3 2 1 1 2 4 5 10 10 9 8 7 6 5 4 3 1 8 7 6 5 4 3 2 1 0 列表如下 解 设拟合曲线方程为 * 1025 147 25317 3017 381 32 53 400 40 10000 1000 100 4 10 8 243 27 6561 729 81 3 9 7 128 16 4096 512 64 2 8 6 49 7 2401 343 49 1 7 5 36 6 1296 216 36 1 6 4 50 10 625 125 25 2 5 3 64 16 256 64 16 4 4 2 45 15 81 27 9 5 3 1 10 10 1 1 1 10 1 0 * 得正规方程组 解得 故拟合多项式为 * * * * 利用正交函数作最小二乘拟合原理 (1)正交函数的概念 三、正交多项式的曲线拟合 * (2)利用正交函数作最小二乘拟合 * 3)勒让得(Legendre)多项式 * 定理 设函数族 0(x)， 1(x)，…， n(x)是关于点集{xi}和权{wi} (i=0，1，…，m)的一组正交多项式，且 k(x)是k次多项式，其最高次项xk的系数为1 (k=0，1，2，…，n)，则相邻三项有如下递推关系 * * * 3.5 有理函数逼近 * 帕德逼近 * * （7.7） （7.11） * 定义(交错点组) 若函数f(x)在其定义域的某一区间［a,b］上存在n个点{xk}n k=1，使得 ①|f(xk)|=max|f(x)|=‖f(x)‖∞，k=1，2，…，n; ②-f(xk)=f(xk+1)，k=1,2,…，n-1, 则称点集{xk}n k=1为函数f(x)在区间［a,b］上的一个交错点组，点xk称为交错点组的点. 二 最佳一致逼近多项式的充要条件 * 定理 (Chebyshev定理）pn*(x)∈Pn［a,b］为对f(x)∈C［a,b］的最佳一致逼近多项式的充要条件是误差曲线函数f(x)- pn*(x) 在区间［a,b］上存在一个至少由n+2个点组成的交错点组. 即存在点集 a ? x1 … xn+2 ? b 使得 * 证明充分性 用反证法. 设f(x)- pn(x)在［a,b］上存在一个至少由n+2个点组成的交错点组，但pn(x)不是最佳一致逼近多项式. 不妨设Hn［a,b ］中的多项式qn(x)为最佳一致逼近多项式，即 ‖f(x)-qn(x)‖∞‖f(x)-pn(x)‖∞. (4) 令 Q(x) = pn(x) -qn(x) =〔f(x)-qn(x)〕-〔f(x)- pn(x)〕 记{x1*, x2*,…, xn+2*}为误差曲线函数f(x)- pn(x)在［a,b］上的交错点组， * 由(4)式可知n次多项式Q(x)在点集{x1*, x2*,…, xn+2*}上的符号完全由f(x)- pn(x)在这些点上的符号所决定， {x1*, x2*,…, xn+2*} 为f(x)-pn(x)的交错点组，即f(x)- p