建筑力学 平面一般力系的平衡方程及其应用.ppt

* * 普通高等教育“十一五”国家级规划教材 第二节 平面一般力系的平衡方程及其应用 一、平面一般力系的平衡条件与平衡方程 平面一般力系平衡的必要和充分条件是： 力系的主矢FR′和主矩MO′都为零。即 FR′= 0， MO′= 0 ∑FX= 0 ∑FY= 0 ∑MO (F ) = 0 普通高等教育“十一五”国家级规划教材 因此，平面一般力系平衡的充分必要条件也可以表述为：力系中所有各力在两个坐标轴上的投影的代数和都等于零，而且力系中所有各力对任一点力矩的代数和也等于零。 ∑FX= 0 ∑FY= 0 ∑MO (F ) = 0 上式又称为平面一般力系平衡方程，是一基本形式: 其中前两式称为投影方程， 第三式称为力矩方程。 对于投影方程可以理解为：物体在力系作用下沿x轴和y轴方向都不能移动； 对于力矩方程可以理解为：物体在力系作用下绕任一矩心都不能转动。 普通高等教育“十一五”国家级规划教材 满足平衡方程时，物体既不能移动，也不能转动，物体就处于平衡状态。当物体在平面一般力系的作用下平衡时，可用三个独立的平衡方程求解三个未知量。 二、平衡方程的其它形式 1.二力矩形式的平衡方程 ∑FX= 0 ∑MA (F ) = 0 ∑MB (F ) = 0 式中x轴不可与A、B两点的连线垂直。 2.三力矩形式的平衡方程 ∑MA (F ) = 0 ∑MB (F ) = 0 ∑MC (F ) = 0 式中A、B、C三点不共线。 普通高等教育“十一五”国家级规划教材 平面一般力系的平衡方程虽有三种形式，但不论采用哪种形式，都只能写出三个独立的平衡方程。 因为当力系满足基本式或二力矩或三力矩式的三个平衡方程时，力系必定平衡， 任何第四个平衡方程都是力系平衡的必然结果，而不再是独立的。 我们可以利用这个方程来校核计算的结果。 在实际应用中，采用哪种形式的平衡方程，完全取决于计算是否简便。 通常力求在一个平衡方程中只包含一个未知量，避免解联立方程组。 普通高等教育“十一五”国家级规划教材 三、平衡方程的应用 应用平面一般力系的平衡方程，主要是求解结构的约束反力， 还可求解主动力之间的关系和物体的平衡位置等问题。 其解题步骤如下： 1.确定研究对象。根据题意分析已知量和未知量，选取适当的研究对象。 2.分析受力并画出受力图。 在研究对象上画出它受到的所有主动力和约束反力，约束反力根据约束类型来画。 当约束反力的方向未定时，一般可用两个互相垂直的分力表示；当约束反力的指向未定时，可以先假设其指向。 普通高等教育“十一五”国家级规划教材 3.列平衡方程求解未知量。 为简化计算，避免解联立方程，在应用投影方程时，选取的投影轴应尽量与多个未知力相垂直； 应用力矩方程时，矩心应选在多个未知力的交点上，这样可使方程中的未知量减少，使计算简化。 例4-3 钢筋混凝土刚架，受荷载及支承情况如图所示。已知FP= 6kN，M = 3kN·m,刚架自重不计。求支座A、B的反力。 3m 3m A B 6kN 3kN·m 普通高等教育“十一五”国家级规划教材 FB 3m 3m A B FAy FAx 6kN 3kN·m ∑FX= 0 ∑MA (F ) = 0 ∑FY= 0 6 + FAx= 0 FAx= -6kN(←) 3 + 3FB - 6×3 = 0 FB= 5kN (↑) FB + FAy= 0 5 + FAy= 0 FAy= -5kN(↓) 普通高等教育“十一五”国家级规划教材 5 3m 3m A B 5 6 6kN 3kN·m 可取∑MB (F ) = 0这一未用过的方程进行校核： 3 + 5×3 - 6×3 = 0