数列难题汇编详解.doc

数列难题汇编 1. 设数列{an}的前n项和Sn=na＋n（n-1）b（n=1、2，…）a、b是常数，且b(0． （1）证明{an}是等差数列． （2）证明以（an，-1）为坐标的点Pn都落在同一条直线上，并写出此直线的方程。 (1)略；(2)x-2y＋a-2=0. 2.设f(n)=1+，是否存在g(n)使等式f(1)＋f(2)…＋f(n-1)=g(n)f(n)-g(n)对n≥2的一切自然数都对立，并证明你的结论。 答：g(n)=n 3.已知一个圆内有n条弦，这n条弦中每两条都相交于圆内的一点，且任何三条不共点，试证：这n条弦将圆面分割成个区域。 答：n=k+1时，第k+1条弦被前k条弦分成k+1段，增加了k+1个区域，故共有 个区域。此时，. 4. 已知数列{an}满足条件：a1=1，a2=r，(r0)且{anan+1}是公比为q(q0)的等比数列，设bn=a2n-1＋a2n(n=1，2，…)， (1)求出使不等式anan+1＋an+1an+2an+2an+3(n(N)成立的q的取值范围； (2)求bn和，其中Sn=b1＋b2＋…＋bn； (3)设r=219.2-1，q=，求数列{}的最大项与最小项的值。 答：(1)(0，)； (2)bn=(1＋r)qn-1，(； (3)当n=20时，最小项为-4，当n=21时，最大项为2.25 5. 设等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a3=12, S12＞0,S13＜0. (Ⅰ)求公差d的取值范围； (Ⅱ)指出S1,S2,…,S12,中哪一个值最大,并说明理由. 解： (Ⅰ)依题意,有 ，即 由a3=12,得 a1=12－2d (3) 将(3)式分别代入(1),(2)式,得 ，∴. (Ⅱ)由d＜0可知 a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13. 因此,若在1≤n≤12中存在自然数n,使得an＞0,an+1＜0, 则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值. 由于 S12=6(a6+a7)＞0, S13=13a7＜0，即 a6+a7＞0, a7＜0. 由此得 a6＞－a7＞0.因为a6＞0, a7＜0,故在S1,S2,…,S12中S6的值最大. 6. 有两个无穷的等比数列{}和{},它们的公比的绝对值都小于1,它们的各项和分别是1和2,并且对于一切自然数n,都有,试求这两个数列的首项和公比. 解：设首项分别为a和b,公比q和r. 则有.依据题设条件,有=1,① =2,② ,③ 由上面的①,②,③ 可得(1－q)2=2(1－r).令n=1,有(1－q)2=2(1－r),④设n=2.则有(1－q)2q2=2(1－r)r,⑤ 由④和⑤,可得q2=r,代入④ 得(1－q)2=2(1－q2).由于q≠1,∴有q=,r =.因此可得a=1－q=,b=2(1－r)=. ∴和经检验,满足的要求. 7. 已知数列{}的前n项和n(n＋1)(n＋2),试求数列{}的前n项和. 解：=－=n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)=n(n＋1).当n=1时，a1=2,S1=×1×(1＋1)×(2＋1)=2,∴a1= S1.则＝n(n＋1)是此数列的通项公式。∴＝1－＝. 8. 有两个各项都是正数的数列{},{}.如果a1=1,b1=2,a2=3.且,,成等差数列, ,,成等比数列,试求这两个数列的通项公式. 解：依据题设条件,有 由此可得=.∵＞0,则2。∴{}是等差数列.∴=. 又 =, ∴= 9. 数列{}是首项为23，公差为整数的等差数列，且前6项为正，从第7项开始变为负的，回答下列各问： (1)求此等差数列的公差d; (2)设前n项和为,求的最大值; (3)当是正数时,求n的最大值. 解：(1)由a6=23＋5d＞0和a7=23＋6d＜0,得公差d=－4.(2)由a6＞0,a7＜0,∴S6最大, S6=8.(3)由a1=23,d=－4,则=n(50－4n),设＞0，得n＜12.5,整数n的最大值为12. 10. 已知等差数列lgx1,lgx2,…,lg,…的第r项为t,而第t项为r,(0＜r＜t),试求x1＋x2＋…＋. 解：设＝x1＋x2＋…＋，依据条件，x1，x2，…，成等比数列，设＝x1，由t=lgx1和r=lgx1,可得q=, x1=.∴x1＋x2＋…＋=× 11.已知数列{}是等差数列,其中每一项及公差d均不为零,设=0(i=1,2,3,…)是关于x的一组方程.回答： (1)求所有这些方程的公共根; (2)设这些方程的另一个根为,求证,,,…, ,…也成等差数列. 解：(1)设公共根为p,则①②则②-① ,得dp2+2dp+d=0,d≠0为公差,∴(p＋1)2=0.∴p=－1是公共根.(直接观察也可以看出公共根为－1).(2)另一个根为,则＋(－1)=.∴+1= 即,易于