数学学年论文毕业论文数学建模的层次分析法.doc

数学建模的层次分析法 摘 要：阐述了数学建模层次分析法的基本思想、方法和核心问题，运用层次分析法建立数学模型的一般步骤和计算方法，并通过实例分析，说明了层次分析法在决策中的有效性。 关键词：数学模型 层次分析法 决策分析 排序 (Analytic Hicrarchy process简记为AHP)是美国著名运筹学家T.L.Saaty在70年代初提出来的，它是将半定性、半定量的问题转化为定量计算的一种行之有效的方法。把复杂的决策系统层次化，通过逐层比较各种关联因素的重要性来为分析、决策提供定量的依据。它特别适用于那些难于完全用定量进行分析的复杂问题。因此层次分析法在工程技术、能源系统分析、经济管理、城市规划和社会科学等众多领域中都得到了广泛的应用。 本文阐述了层次分析法的基本思想和步骤、计算问题，针对企业留成利润合理使用问题，利用层次分析法对各项措施进行了最优方案的选择。 1、AHP建模的基本思想和步骤[1-3] AHP的基本思想是先按问题要求建立一个描述系统功能或特征的内部独立的递阶层次结构，通过两两比较因素（或目标、准则、方案）的相对重要性，给出相应的比例标度；构造上层某要素对下层相关元素的判断矩阵，以给出相关元素对上层某要素的相对重要序列。AHP的核心问题是排序问题，包括递阶层次结构原理、标度原理和排序原理。 运用AHP解决实际问题，大体可以分为4个基本步骤。 建立递阶层次结构模型 这是AHP中最重要的一步。将问题所包含的因素按属性不同而分层，可以划分为最高层、中间层和最低层。同一层次元素作为准则，对下一层次的某些元素起支配作用，同时它又受上一层次元素的支配。这种从上至下的支配关系形成一个递阶层次。 最高层通常只有一个元素， 它是问题的预定目标，表示解 目标层 决问题的目的，因此也称目标 层。 中间层为实现总目标而采 准则层 … … 取的措施、方案和政策，它可 以由若干个层次组成，包括所 需要考虑的准则、子准则，因 此也称为准则层。 子准则层 … … 最低层为实现目标可供选 择的各种措施、决策方案等， 用于解决问题的各种途径和方 … … … … 法，也称为方案层。见图1 当某个层次包含因素较多 方案层 … … 时（如超过9个），可将该层 次划分为若干层。 图1 递阶层次结构示意图 构造两两比较判断矩阵 设要比较n个因素X={,,…,}对目标Z的影响，确定它们在Z中所占的比重，每次取两个因素 和,以表示 和对Z的影响之比，得到两两比较判断矩阵： A=()nn (1) 其中0 =(i≠j) i,j=1,2,…,n =1,i=1,2,…,n (2) 使（2）式成立的矩阵称为正互反矩阵。 的确定T.L.Saaty引用了数字1-9及其倒数作为标度的标度方法（见表1），如果介于上述相邻判断中间，2，4，6，8。1 比较尺度的取值方法 较强 强 很强 绝对强 1 3 5 7 9 3) 层次单排序及其一致性检验 (1)层次单排序 先解出判断矩阵A的最大特值，再利用 AW=W (3) 所对应的特征向量W，W经过标准化后，即为同一层次中相应元素对于上一层次中某因素相对重要性的排序权值。 2）一致性检验 A，要检验它的不一致程度，首先计算其一致性指标CI,定义： CI= (4) n为A的阶数，当CI=0即=n时[1]，A具有完全一致性，CI愈大,A的一致