《线性代数与概率统计》之线性代数.ppt

线 性 代 数 设P点在 中的坐标为 ，在 中的坐标为 ，在 中的坐标为 ，则 把 变换为 ，称 为 的系数矩阵。 同理， 把 变换为 ，称 为 的系数矩阵。 系数矩阵 线 性 代 数 连续施行 ， ，可把（X，Y）变换为 ，对应变换记为 ，即相当于将坐标旋转θ+φ角，于是得： 利用三角函数的和差化积公式及系数矩阵得： 的系数矩阵为 系数矩阵 线 性 代 数 在解析几何及代数学中，称变换 为变换 与 的乘积，记为 。对等地，自然把 的系数矩阵 也记为 ，即 称C 为A与B 的乘积。 下面请看矩阵乘法的运算规则 变换与矩阵乘法的关系 线 性 代 数 线 性 代 数 定义 设 令 称矩阵 为矩阵A与矩阵B 矩阵的积，记为 ，其通式为： 。 矩阵乘法的定义 线 性 代 数 基于上述矩阵乘法运算的规则，可以得到如下两个结论： （1）只有当A矩阵的列数与B矩阵的行数相等时，AB才有意义。即被乘数矩阵的列数一定要与乘数矩阵的行数相等； （2）积矩阵C的行数等于被乘数矩阵A的行数，列数等于乘数矩阵的列数。 下面回到最开始举的关于彩电生产、 零部件及原材料关系的例子 矩阵乘法运算的规则 线 性 代 数 例 某电视机厂生产三种型号的35厘米(14英寸)彩电TC-1、TC-2、TC-3,它们的主要零部件是:S1(显像管)、S2(电路板)、S3(扬声器)、S4(机壳)，而这些零部件的主要原材料为：M1(铜)、M2(玻璃)、M3 (塑料)。生产不同型号的彩电所需零部件的数量以及生产不同的零部件所需原材料的数量在下列两表中给出: ? TC-1 TC-2 TC-3 S1 1 1 1 S2 3 4 5 S3 2 4 6 S4 1 1 1 ? S1 S2 S3 S4 M1 2 4 4 0 M2 14 0 0 4 M3 1 2 1 10 我们如何导出彩电型号与原材料的直接联系呢？ 即为SM 矩阵乘法的应用举例 线 性 代 数 课堂作业 计算下列矩阵的乘积： （1） （2） （3） 答案 线 性 代 数 矩阵乘法的应用举例 例 某人到商店去买0.5千克糖，1千克水果，3千克面粉，2.5千克大米。已知糖、水果、面粉、大米的价格分别为5元/千克、4.5元/千克、3元/千克、4元/千克，问购买这些商品要花多少钱？（用矩阵的乘法计算） 解：请问是以下哪种表达形式？ （1） （2） 答：（2）正确。 线 性 代 数 矩阵乘法的应用举例 例 前面讲的关于坐标旋转的例 三个坐标变换公式可以用矩阵形式表示如下： 故C=AB。 线 性 代 数 矩阵乘法的性质 （1）（AB）C=A（BC） (结合律) （2）A（B+C）= AB + AC （左分配律） （B+C）A = BA + CA （右分配律） （3）k（AB）=（kA）B=A（kB） 请大家课后思考关于右分配律的证明，在这个证明中你能发现什么？ 线 性 代 数 有关矩阵乘法的注意事项 （1）两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，如： （2）矩阵的乘法不满足交换律。 ①当s≠m时，AsnBnm有意义，但BnmAsn没有意义。 ②若AmnBnm，BnmAmn均有意义，但当n≠m时，前 者是m阶方阵，后者是n阶方阵。 ③即使AnnBnn，BnnAnn均为n阶方阵，它们也不一 定相等，如： 线 性 代 数 五、单位矩阵与0矩阵 定义 主对角元全为1、其余元素全为0的n阶方阵称为n阶单位矩阵，记为 或 （有的教材上为 或E）。所有元均为0的矩阵称为0矩阵，记为0m×n。 （前面已经提到） 性质 对任一m×n矩阵 ，均有 推论 如果A是方阵，则AI=IA。 * 《线性代数与概率统计》之线性代数（主讲：杨志军 副教授） 线 性 代 数 线性代数是从线性方程组论、行列式论和矩阵论中产生的，它是近世代数的一个分支。 近世代数是由两个不得志的青年所创建的，一个叫阿贝尔，一个叫伽罗瓦。 阿贝尔的一生是不幸的。他在当时所写的数学论文都没有得到老一辈数学家们的重视。如：他曾五次将一篇“五次方程不能由公式给出其解”的论文寄给在格廷根的高斯，但都没有得到回音。由于他的不断出外求学，致使经济状况十分糟糕，最后只得回到自己的