【精选】08第8讲 实数与二次根式.doc

第8讲 实数与二次根式 本讲重点：平方根、立方根的概念二次根式的概念及其加、减、乘、除运算【考点链接】 1．平方根和算术平方根：若x2=a，则x叫做a 的 ，非负数a的平方根表示为±，其中叫做a的 ；一个正数的平方根有两个，他们互为 ，零的平方根是零. 2．立方根：若x3=a，则x叫做a的 ，任何一个实数都有一个立方根. 3．实数的分类: 或实数 4. 二次根式：形如（a≥0）的式子叫做二次根式．在二次根式中，字母a必须满足a≥ ．二次根式的化简结果一定要化为最简二次根式. 5．二次根式性质： （1） （a≥0）； （2） （a≥0，b≥0）； （3） （a≥0，b＞0）；（4）= . 6．二次根式的乘除法： ·= (a≥0,b≥0)， （a≥0，b＞0）. 7．二次根式的加减：与合并同类项类似，就是把二次根式的系数【典例探究】 考点1 平方根、算术平方根、立方根在实数：3.14159，，1.010010001…，，π，中，无理数的（　　） 　 A． 1个B．2个C． 3个D． 4个 2012日照）（﹣2）2的算术平方根是（　　） A．2 B．±2C．﹣2 D．（201盐城）27的立方根为　　． 2012茂名）已知：一个正数的两个平方根分别是2a﹣2和a﹣4，则a的值是　　． 解：∵=4，∴无理数有：1.010010001…，π．故选B．∵（﹣2）2=4，4的算术平方根为2，∴（﹣2）2的算术平方根是2．故选A．∵33=27，∴27的立方根是3，故答案为3．∵一个正数的两个平方根分别是2a﹣2和a﹣4，∴2a﹣2+a﹣4=0，解得a=2．等；（2）与有关的数，如2π，；（3）有规律但不循环的数，如0.30330333033330…（两个0之间依次多一个3）同时注意，所有的分数和整数都是有理数，分数都可以化成有限小数或无限循环小数. 考点2 二次根式的概念和性质 『例2』（1）（教材习题变式题）如果是二次根式，那么应适合的条件是（ ） A． B． C． D． （2）（201徐州）若式子实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A、x≥1 B、x＞1C、x＜1 D、x≤1 ，则的算术平方根为 . （4）（2012日照模拟）已知x，y为实数，且满足=0，那么x201﹣y201=　　．（201）若，则=　　． ≥0，得5－x＜0，所以.故选C. （2）解：根据二次根式有意义的条件得：x﹣1≥0，∴x≥1，故选A． ， . （4）∵=0，∴=0， ∴x+1=0，y﹣1=0，解得x=﹣1，y=1，∴x201﹣y201=（﹣1）201﹣1201=1﹣1=．∵，∴+（b+1）2=0， ∴a2﹣3a+1=0，b+1=0，∴=3，=7；b=﹣1．∴=7﹣1=6．(a≥0)一定是非负数.即它是a的算术平方根. 考点3 二次根式的运算 『例3』（教材习题变式题）计算：(1) ； . （3）；(4) ； ；（6）. 『解析』(1) 原式=原式==45. (4) 原式=； =4+10=14. （6）原式= . 『备考兵法』（1）二次根式混合运算的运算次序是：先乘除，后加减； （2）整式运算的运算法则和运算律对二次根式同样适用. （3）二次根式的运算结果能化简的必须化简. 【当堂过关】 1. （2012六盘水）数字，，π，，cos45°，中是无理数的个数（　　） 　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 解：=2，cos45°=，所以无理数的有：，π，cos45°，共3个．C 2. （2012黔南模拟）的平方根是（　　） A、3 B、±3 C、 D、± ∵=3，∴的平方根是±．D 3. 当时,二次根式的值为（ ） A．1 B．±1 C．3 D．±3 『解析』代入计算即得. 『答案』D 4. （2012荆门东宝区模拟）下列计算①；②；③；④4．其中错误的是A . ① B. ② C. ③ D. ④ 『解析』＝错误2012遵义模拟）计算：＝ . 『解析』=2 ×=2． （201包头）化简二次根式：=　　． =3﹣（）﹣2=﹣2﹣2 已知|6-3m|+（n-5）2=3m-6-，则m-n= |6-3m|+（n-5）2=3m-6- ，6-3m＜0，m＞2，n-5=0，n=5，m-3=0，m=3，则m-n=3-5=-