【精选】1-2矢量场的散度.ppt

* 一、矢量的通量： 1 、矢量场的矢量线： 常用带方向(箭头)的场线来形象地表示矢量场在空间的分布情况.那么,这些场线就称为矢量线或流线. 线上每一点的切线方向代表该点的矢量场的方向；线的疏密程度就表示该点的矢量场的大小. 如点电荷产生的电场中的电力线. 1.２ 矢量场的散度 2 、矢量线的微分方程： 在直角坐标系中,设某一矢量函数 为： 由定义:矢量线上任一点的切向长度元 与该点的矢量场 平行. 则 求出通解，就可画出矢量线。 3 、矢量的通量： （1-4-3） 方向的确定： 是开表面的面元，而开表面的边界为闭合曲线 C，选定 C 的绕行方向，则由右手螺旋定则，四指指向 C 的绕行方向，大拇指指向 的方向，也即 方向。 是闭合面的面元，则 为该闭合面的外法线方向。 面元足够小，视其上的A为常数 ∵ 穿过 的通量 有向面元 记作: 矢量场 的通量为标量,其正、负与面元 的 取向有关。 穿过面积 S 的通量为： 若S为开表面，则穿过曲面 S的通量为： 若S为闭合面，则穿出 S的通量为： （1-4-5） （1-4-6） 讨论: S为闭合面 S内没有净源. S内必有吸收通量线的源 负源 ＜ S内必有发出通量线的源 正源 ＞ 二、矢量场的散度 ? １、散度的定义 散度的意义：表示场中任意一点M处，通量对体积的变化率。也称为 “通量源密度”。 在场空间 中任意点M 处作一个闭合曲面，所围的体积为 ，则定义场矢量 在M 点处的散度为： 讨论： ＞0： 该点有发出通量线的正源； ＜0： 该点有吸收通量线的负源； ＝0： 该点无源。 散度是标量。 2 、散度在直角坐标系中的表示式： 即 矢量微分算子 ： “ ” 5 、高斯散度定理： 散度定理把一个体积分变换成一个闭合面积分,因此散度定理广泛用于将一个电磁场通量形式的积分方程转换为一个散度形式的微分方程。 证明： 任取一体积 τ，其相应的闭合表面为 S。 现将体积元 τ分成N个体积元： 对任一体积元 即 同理：对 相邻的体积元 从 、 组成的体积中穿出的通量为： ∵ 相邻两个体积元有一个公共表面，而公共表面上的通量对这两个体积元来说，其 方向恰好相反，故求和时相互抵消。结果，上式右边的积分只剩下 、 外表面上的通量，因此，当体积 τ 由N 个小体积元组成时，穿出体积 τ的通量就等于限定它的闭合面 S 上的通量。 即 证毕 例：长方体区域由 六个面组成，设其内矢量场 试就此验证散度定理的有效性。 解： 由题意知 矢量为二维矢量，且和 的表面 平行，因此只需要计算其余表面的通量。 又因 于是体积分 以上计算表明：散度定理成立。 y o z