【精选】1.2矢量场的散度.ppt

* * １.２.１、矢量场的矢量线： 1 、矢量场的矢量线： 常用带方向(箭头)的场线来形象地表示矢量场在空间的分布情况.那么,这些场线就称为矢量线或流线. 线上每一点的切线方向代表该点的矢量场的方向；线的疏密程度就表示该点的矢量场的大小. 如正点电荷产生的电场中的电力线. 1.２ 矢量场的散度 * * 2 、矢量线的微分方程： 在直角坐标系中,设某一矢量函数 为： 由定义:矢量线上任一点的切向长度元 与该点的矢量场 平行. 则 求出通解，就可画出矢量线。 * * １.２.２、矢量场的通量： 方向的确定： 是开表面的面元，而开表面的边界为闭合曲线 C，选定 C 的绕行方向，则由右手螺旋定则，四指指向 C 的绕行方向，大拇指指向 的方向，也即 方向。 是闭合面的面元，则 为该闭合面的外法线方向。 面元足够小，视其上的A为常数 ∵ 穿过 的通量 有向面元 * * 记作: 矢量场 的通量为标量,其正、负与面元 的 取向有关。 穿过面积 S 的通量为： 若S为开表面，则穿过曲面 S的通量为： 若S为闭合面，则穿出 S的通量为： * * 讨论: S为闭合面 S内没有净源. S内必有吸收通量线的源 负源（沟） ＜ S内必有发出通量线的源 正源 ＞ * * １.２.３、矢量场的散度：（矢量分析中的一个重点） ? １、散度的定义： 散度的意义：表示场中任意一点M处，通量对体积的变化率。也称为 “通量源密度”。 在场空间 中任意点M 处作一个闭合曲面，所围的体积为 ，则定义场矢量 在M 点处的散度为： 散度是标量 * * 讨论： ＞0： 该点有发出通量线的正源； ＜0： 该点有吸收通量线的负源； ＝0： 该点无源。 散度是标量。 * * 2 、散度在直角坐标系中的表示式： 即 矢量微分算子 ：　　　　读作　nabla 或　del “ ” 当作矢量看待 * * １.２.４、高斯散度定理：　（重要定理） 意义：任意矢量场 的散度在场中任意一个体积 τ 内的体积分等于矢量场 在限定该体积的闭合面上的法向分量沿闭合面的积分。 证明： 任取一体积 τ，其相应的闭合表面为 S。 现将体积 τ分成N个体积元： 对任一体积元 便于体积分与面积分的互换运算 12 * * 即 同理：对 相邻的体积元 从 、 组成的体积中穿出的通量为： 散度的定义 * * ∵ 相邻两个体积元有一个公共表面，而公共表面上的通量对这两个体积元来说，其 方向恰好相反，故求和时相互抵消。结果，上式右边的积分只剩下 、 外表面上的通量，因此，当体积 τ 由N 个小体积元组成时，穿出体积 τ的通量就等于限定它的闭合面 S 上的通量。 即 证毕 9 * * 例：设球面 S 上任意点的位置矢量为 求 解：根据散度定理 9