【精选】1.3 标量场的梯度.pdf

1.3 标量场的梯度 对于一个标量场除了了解标量场u的总体分布情况， 还要讨论其等值面随空间的变化。 一、方向导数 1.方向导数的定义 等值面沿某一给定方向l0 的变化率，称为该标量场 沿l0方向的方向导数。 例：温度场 0C 10C L3 20C L1 100米 L2 200米 30C 80米 21:38:2421:38:24 11 0C 10C L1 100米 L3 20C L2 200米 30C 80米 L1：（每米的温度变化为） 同一个温度场中，其等温面 （0C--30 C）/100m=-3/10 C/m 沿不同方向的变化率不同： L2：（每米的温度变化为） L1的方向导数为-3/10 （0C--30 C）/200m=-3/20 C/m L2的方向导数为-3/20 L3：（每米的温度变化为） L3的方向导数为-3/8 （0C--30 C）/80m=-3/8 C/m 21:38:24 2 1.3 标量场的梯度 若M0为标量场u(M)中的一点，标 u(r ) l 量场u(M)在点M0处沿l方向的方向导数 M 为 M 0 u u(M ) u(M ) l lim 0 l l0 l M 0 方向导数的物理意义 u | 是标量场u(M )在点M 处沿l 方向对距离的变化率 M 0 l 0 u 1) | 0，标量场u在点M 沿l 方向是增加的； M 0 l 0 u 2) | 0，标量场u在点M 沿l 方向是减小的； M 0 l 0 u 3) | =0，标量场u在点M 沿l 方向无变化。 M 0 l 0 21:38:24 3 方向导数与选取的考