【精选】10、2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系.doc

2．1.3 2.1.4　空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 数学来源于生活，服务于生活，立体几何中的问题要注意联系现实生活的实物模型，这样可以把抽象的问题具体化、形象化．比如 观察教室，教室墙面、地面、天花板均可抽象成平面，把日光灯所在的线段抽象成一条直线． 问题1：上述问题中日光灯管所在直线与墙面、地面、天花板有何位置关系？ 提示：平行或相交(垂直)． 问题2：假如不小心一支铅笔掉在地面上，那么铅笔所在的直线与地面有何关系？ 提示：直线在平面内． 问题3：上述问题1、2中直线与平面的公共点个数如何？ 提示：直线与平面平行，无公共点，直线与平面相交只有1个公共点，直线在平面内有无数个公共点． 直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在 平面α内 直线a在平面α外 直线a与平 面α相交 直线a与 平面α平行 公共点 无数个 公共点 一个 公共点 没有公共点 符号表示 aα a∩α＝A aα 图形表示 观察拿在手中的两本书，我们可以想象两本书为两个平面． 问题1：两本书所在的平面可以平行吗？公共点的个数是多少？ 提示：可以，无公共点． 问题2：两本书所在的平面可以相交吗？公共点的个数是多少？ 提示：可以，有无数个． 两个平面的位置关系 位置关系 图示 表示法 公共点个数 两平面平行 αβ 没有公共点 两平面相交 α∩β＝l 有无数个 公共点 (在一条 直线上) 1．利用公共点的个数也可以理解直线与平面的位置关系． (1)当直线与平面无公共点时，直线与平面平行． (2)当直线与平面有一个公共点时，直线与平面相交． (3)当直线与平面有两个公共点时，它们就有无数个公共点，这时直线在平面内． 2．对于平面与平面的位置关系，一般不考虑平面重合． [例1]　下列命题： 直线l平行于平面α内的无数条直线，则lα； 若直线a在平面α外，则aα； 若直线ab，直线bα，则aα； 若直线ab，bα，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线． 其中真命题是________． [思路点拨]　可按直线与平面位置关系的不同定义逐一判断． [精解详析]　对于，直线l虽然与平面α内的无数条直线平行，但l有可能在平面α内，l不一定平行于α，是假命题．对于，直线a在平面α外，包括两种情况：aα和a与α相交，a和α不一定平行，是假命题．对于，直线ab，bα，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，a不一定平行于α，是假命题．对于，a∥b，bα，那么aα或aα，a与平面α内的无数条直线平行，是真命题． [答案]　 [一点通]　空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行． 在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断． 1．圆台的母线与圆台的底面的位置关系是(　　) A．相交　　　　　　　　　B．平行 C．母线在底面内 D．异面 解析：圆台的母线与圆台的底面只有一个交点，故其位置关系为相交． 答案：A 2.如图所示，A′B与长方体ABCD—A′B′C′D′的六个面所在的平面有什么位置关系？ 解：直线A′B与平面ABB′A′有无数个公共点， 直线A′B在平面ABB′A′内． 直线A′B与平面ABCD，BCC′B′都有且只有一个公共点B，直线A′B与平面ABCD，BCC′B′相交．直线A′B与平面ADD′A′，A′B′C′D′都有且只有一个公共点A′，直线A′B与平面ADD′A′，A′B′C′D′相交． 直线A′B与平面DCC′D′没有公共点， 直线A′B与平面DCC′D′平行． [例2]　(1)平面α内有无数条直线与平面β平行，问αβ是否正确，为什么？ (2)平面α内的所有直线与平面β都平行，问αβ是否正确，为什么？ [思路点拨]　(1)无数条直线不能代表所有直线，结合平面与平面平行的定义，举出反例即可；(2)平面α内的所有直线与平面β都平行，结合平面与平面平行的定义即可判断． [精解详析]　(1)不正确． 如图所示，设α∩β＝l，则在平面α内与l平行的直线可以有无数条：a1，a2，…，an，…，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，an，…与平面β都平行(因为a1，a2，…，an，…与平面β无交点)，但此时α与β不平行，α∩β＝l. (2)正确． 平面α内所有直线与平面β平行，则平面α与平面β无交点，符合平面与平面平行的定义． [一点通]　两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似，可以从有无公共点区分：如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知，这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面互相平行．这样我们可以