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高等流体力学练习题 场论基本知识 场的定义及其几何表达 （RX21）设点电荷q位于坐标原点，则在其周围空间的任一点M(x, y, z)处所产生的电场强度，由电学知为：，其中ε为介质系数，为M点的矢径，。求电场强度的矢量线。 （RX22）求矢量场，通过点M(2, -1, 1)的矢量线方程。 梯度 （RX32）设为点M(x, y, z)的矢径的模，试证明：。 （RX33）求数量场u=xy2+yz3在点（2，－1，1）处的梯度及在矢量方向的方向导数。 （RX34）设位于坐标原点的点电荷q，由电学知，在其周围空间的任一点M(x, y, z)处所产生的电位为：，其中ε为介质系数，为M点的矢径，。求电位v的梯度。 （BW7）试证明，并证明，若，则必为。 （BW8）若＝，且是矢径的单值函数，证明沿任一封闭曲线L的线积分，并证明，若矢量沿任一封闭曲线L的线积分，则矢量必为某一标量函数的梯度。 矢量的散度 （RX39）设由矢径构成的矢量场中，有一由圆锥面x2+y2=z2及平面z=H(H0)所围成的封闭曲面S。试求矢量场从S内穿出S的通量。 （RX41）在点电荷q所产生的电场中，任何一点M处的电位移矢量为，其中，为从点电荷q指向M点的矢径，。设S为以点电荷为中心，R为半径的球面，求从内穿出S的电通量。 （RX44）若在矢量场内某些点（或区域）上有，而在其他点上都有，试证明穿过包围这些点（或区域）的任一封闭曲面的通量都相等，即为一常数。 （RX44）在点电荷q所产生的电场中，求电位移矢量在任何一点M处的散度。 （RX46）已知，求 矢量的旋度 （RX51）设有平面矢量场，l为场中的星形线x=Rcos3θ，y=Rsin3θ。求此矢量场沿l正向的环量。 （RX55）求的旋度。 （RX57）设一刚体绕过原点的某个轴转动，其角速度为。由运动学我们知道，刚体上某一点处的线速度为，求此线速度场的旋度。 （BW18）证明rot=0，并证明，若rot＝0，则必为。 哈密尔顿算子 （RX80）已知u=3xsinyz，求 （RX80）设，求该矢量在点M(1, 2, 1)处的旋度。 （RX80）证明，其中为常矢。 场论基本运算公式（见P6～7） 1、（BW19）证明场论各基本运算公式。 张量基本知识 指标 什么是自由指标和哑指标？ 试简述约定求和法则。 张量及其表示法 试简述二价张量的定义。 什么是零阶张量？它有几个分量？ 试写出的实体表示形式。 几个特殊的张量 试写出单位张量的分量表示形式 （BW63）试证明二价张量可以唯一的分解为一个对称张量和一个反对称张量之和。 二阶张量的运算 证明 证明当［B］为对称张量时，则 证明 若将反对称张量［B］写成：，证明 证明 证明 证明 证明，其中为的转置张量。 证明 各向同性张量 什么是各向同性张量？ 证明二阶各向同性张量的形式必为，为标量。 流体力学的基本概念 流体力学的基本研究方法 试简述流体质点的概念和连续性假设。 试分别简述描述流体流动的两种方法。 流体微团的运动分析 （LJ50）设初始时刻流体质点的速度与它到某—固定界面的距离x。间的关系为：u=kx0/(x0+1)。k为常数，此后流体质点各自都作等速直线运动。速度方向与该固定截面垂直。 (1)求速度场； (2)求变形速度张量； 试简述亥姆霍兹速度分解定理。 （QZC31）给定平面流场的极坐标表达式：vr=u(r, θ)，vθ=v(r, θ)，求流动平面上径向和周向的线变形率，以及平面上的角变形率。 （GZ54）设u=cy，v=0，w=0，求其变形张量和旋转张量。 作用在流体上的表面力 试表述所表达的意义。 试证明应力张量的对称性。 （GZ61）设流体中的应力张量由下式给出，设有一平行于坐标轴的六面体，求（1）六面体六个面上的应力分布；（2）求作用于z=0及x=0面上的合力。 （GZ62）流体内某处的应力张量为，试问作用于平面x+3y+z=1外侧（离开原点的一侧）上的应力矢量是什么？这个平面上的应力向量的法向和切向分量是什么？ 随体导数 （FY24）已知用拉格朗日变数表示的速度场为： u=(a+1)et-1 v=(b+1)et-1 式中：a,b是t=0时刻流体质点的直角坐标值。 试求：（1）t=2时刻流场中质点的分布规律； （2）a=1,b=2这个质点的运动规律； （3）流体质点的加速度场表达式。 （4）欧拉变数下的速度和加速度表达式。 （QP44）已知用欧拉变数表示的速度场为： u=x+t v=y+t 试求：（1）一般的迹线方程，令t=0时的坐标为a,b。 （2）在t=1时刻过（1，2）点的质点的迹线。 （3）在t=1时刻过（1，2）点的流线。