【精选】14 微分中值定理.ppt

主要内容： 第三章 微分中值定理与导数的应用 第一节 微分中值定理 一、几何背景； 二、罗尔定理； 三、拉格朗日中值定理. 一、几何背景 拉格朗日中值公式 一、几何背景 罗尔定理 拉格朗日中值公式 二、罗尔定理 费马(Fermat)引理 设 f(x0)为函数 f(x)在开区间(a? b)内的最大(小)值, 若 f ?(x0)存在, 则 f ?(x0) ? 0 ? 证明 设 f(x0)为最大值. 二、罗尔定理 证明 所以, f(x0)为最小值时类似可证. 设 f(x0)为最大值. 费马(Fermat)引理 设 f(x0)为函数 f(x)在开区间(a? b)内的最大(小)值, 若 f ?(x0)存在, 则 f ?(x0) ? 0 ? 证明 罗尔(Rolle)定理 如果函数 y?f(x) 满足 (1) 在闭区间[a? b]上连续; (2) 在开区间(a? b)内可导; (3) f(a) ? f(b), 那么在(a? b)内至少存在一点 x? 使得 f ?(x) ? 0 ? 罗尔(Rolle)定理 如果函数 y?f(x) 满足 (1) 在闭区间[a? b]上连续; (2) 在开区间(a? b)内可导; (3) f(a) ? f(b), 那么在(a? b)内至少存在一点 x? 使得 f ?(x) ? 0 ? 证明 应注意的问题： 如果定理的三个条件有一个不满足? 则定理的结论有可能不成立? 罗尔(Rolle)定理 如果函数 y?f(x) 满足 (1) 在闭区间[a? b]上连续; (2) 在开区间(a? b)内可导; (3) f(a) ? f(b), 那么在(a? b)内至少存在一点 x? 使得 f ?(x) ? 0 ? 罗尔(Rolle)定理 如果函数 y?f(x) 满足 (1) 在闭区间[a? b]上连续; (2) 在开区间(a? b)内可导; (3) f(a) ? f(b), 那么在(a? b)内至少存在一点 x? 使得 f ?(x) ? 0 ? 例1 不求导数? 判断函数 f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数有几个实根? 以及其所在范围? 解 f(1)=f(2)=f(3)=0? f(x)在[1? 2]? [2? 3]上满足罗尔定理的三个条件? 由罗尔定理 在(1? 2)内至少存在一点x1? 使 f ?(x1)=0? x1是 f ?(x)的一个实根; 在(2? 3)内至少存在一点x2? 使f ?(x2)=0? x2也是f ?(x)的一个实根? f ?(x)是二次多项式? 至多有两个实根. 所以 f ?(x)有两个实根, 分别在区间(1? 2)及(2? 3)内? 例2 证明 由零点定理, x0 即为方程的一个根. 矛盾. 由罗尔定理, 例3 分析: 结论可化为 结论进一步化为 观察与思考: 证明 设 例3 则 F(x)在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 且 分析: 结论可化为 由罗尔定理, 在(0,1)内至少存在一点x, 使 思考题 提示: 考虑方程 化为方程 用罗尔定理证明的基本题型: 证明方程 F ?(x) =0 在(a, b)内存在根. 三、拉格朗日中值定理 拉格朗日(Lagrange)中值定理 如果函数 y?f(x) 满足 (1) 在闭区间[a? b]上连续; (2) 在开区间(a? b)内可导, 那么在(a? b)内至少存在一点 x? 使得 f(b)-f(a)= f ?(x) (b-a) ? 拉格朗日中值公式 拉格朗日(Lagrange)中值定理 如果函数 y?f(x) 满足 (1) 在闭区间[a? b]上连续; (2) 在开区间(a? b)内可导, 那么在(a? b)内至少存在一点 x? 使得 f(b)-f(a)= f ?(x) (