【精选】18讲：ch6-4(龙贝格求积).ppt

主要内容： 一、 梯形法的逐次分半算法 二、 龙贝格算法 三、 外推法的一般讨论 主要内容： 1:梯形法的逐次分半算法 2:龙贝格算法 3:外推法的一般讨论 第4节 龙贝格求积公式 龙贝格求积公式 主要内容 梯形法的逐次分半算法 逐次分半算法 解 例1 例 题 1 例2 解 例 题 2 例 题 2 在等距节点的情况下，用计算机计算积分值通常都采用把区间逐次分半的方法进行。这样，前一次分割得到的函数值在分半以后仍可被利用,且易于编程 。 逐次分半算法 把区间二等分，每个小区间长度为 h/2=(b-a）/2，于是 T2 =T1/2+[h/2]f(a+h/2） 把区间四(22)等分，每个小区间长度为h/2 2 =（b-a）/4，于是 T4 =T2/2+[h/22][f(a+h/4)+f(a+3h/4)] · · · · · · · · · · · · · · · · 把[a,b] 2k 等分，分点xi=a+(b-a)/ 2k ·i （i =0，1，2 · · · 2k）每个小区间长度为(b-a)/ 2k ，由归纳法可得 逐次分半算法 f[x_]:=Sin[x]/x;a=0;b=1;f[0]=1;f[1]=0.8414709; h[k_]:=(b-a)/2^k;T[0]=(b-a)/2*(f[a]+f[b]) T[k_]:=1/2*T[k-1]+h[k]*Sum[f[a+h[k]*(2i-1)],{i,1,2^(k-1)}]; N[Table[T[k],{k,1,5}],6]; MatrixForm[%] Romberg方法为逐次分半加速法。它是在梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式之间的关系的基础上，构造出一种加速计算积分的方法。 逐次分半算法 一、龙贝格算法 事后估计法 利用计算结果来估计误差的方法 龙贝格算法 当n=1 时,我们计算上式右端 这恰好是辛普森公式的结果，即有 比梯形公式有更好的精确度 龙贝格算法 类似地可验证： 即 龙贝格算法 龙贝格算法 可以验证 事实上 C1=(42S2-S1)/(42-1) =16S2/15-S1/15=(7y0+32y1+12y2+32y3+7y4)/90 恰为柯斯特公式。 同理， C2=(42S4-S2)/(42-1)，... 龙贝格算法 即, R1=(43C2-C1)/(43-1), R2 =(43C4-C2)/(43-1), ... Rn= (43 C2n -Cn )/ (43-1); 上式即为龙贝格公式，得龙贝格值序列 龙贝格算法 用若干个积分近似值推算出更为精确的积分近似值的方法，称为外推方法。 龙贝格算法 计算过程见表： 龙贝格算法 T1 T2 S1 T4 S2 C1 T8 S4 C2 R1 T16 S8 C4 R2 T32 S16 C8 R4. ................................................ 上面是Romberg的计算表若 则计算停止 龙贝格算法 或 龙贝格算法 解： 用Romberg方法计算积分 近似值 例3 例 题 3 例 题 3 例 题 3 f[x_]:=Sin[x]/x; a=0;b=1;f[0]=1;f[1]=0.8414709; h[k_]:=(b-a)/2^k;T[0,0]=(b-a)/2*(f[a]+f[b]); T[0_,k_]:=1/2*T[0,k-1]+h[k]*Sum[f[a+h[k]*(2i-1)],{i,1,2^(k-1)}]; N[Table[T[0,k],{k,0,3}],6]; MatrixForm[%] T[m_,k_]:=(4^m*T[m-1,k+1]-T[m-1,k])/(4^m-1); N[Table[T[m,k],{m,1,3},{k,0,2}],7]; MatrixForm[%];N[Table[T[1,k],{k,0,2}],7]; MatrixForm[%];N[Table[T[2,k],{k,0,1}],7]; MatrixForm[%];N[T[3,0],7] 算 法 将余项泰勒展开 外推法的一般讨论 外推法 此处理方法称为理查森(Richardson)外推加速方法。 外推法 本 节 小 结