【精选】1988年全国高中数学联赛试题及详细解析.doc

一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)： 1．设有三个函数，第一个是y=φ(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于x+y=0对称，那么，第三个函数是( ) A．y=－φ(x) B．y=－φ(－x) C．y=－φ－1(x) D．y=－φ－1(－x) 4．已知三个平面α、β、γ，每两个之间的夹角都是θ，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c．若有命题甲：θ； 命题乙：a、b、c相交于一点． 则 A．甲是乙的充分条件但不必要 B．甲是乙的必要条件但不充分 C．甲是乙的充分必要条件 D．A、B、C都不对 5．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I表示所有直线的集合，M表示恰好通过1个整点的集合，N表示不通过任何整点的直线的集合，P表示通过无穷多个整点的直线的集合．那么表达式 ⑴ M∪N∪P=I； ⑵ N≠?． ⑶ M≠?． ⑷ P≠?中，正确的表达式的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题(本大题共4小题，每小题10分)： 1．设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么= ． 2．(+2)2n+1的展开式中，x的整数次幂的各项系数之和为 ． 3．在△ABC中，已知∠A=α，CD、BE分别是AB、AC上的高，则= ． 1988年全国高中数学联赛二试题 一．已知数列{an}，其中a1=1，a2=2， an+2= 试证：对一切n∈N*，an≠0． 二．如图，在△ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q在AB边上，求证：． 三．在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线l1，l2，……，ln，…的直线族，它满足条件：[来源:Z§xx§k.Com] ⑴ 点(1，1)∈ln，(n=1，2，3，……)；[来源:Zxxk.Com] ⑵ kn+1=an－bn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分别是ln在x轴和y轴上的截距，(n=1，2，3，……)； ⑶ knkn+1≥0，(n=1，2，3，……)．[来源:学|科|网Z|X|X|K] 并证明你的结论． 1988年全国高中数学联赛解答 一试题 一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)： 2．已知原点在椭圆k2x2+y2－4kx+2ky+k2－1=0的内部，那么参数k的取值范围是( ) A．|k|1 B．|k|≠1 C．－1k1 D．0|k|1 【答案】D 【解析】因是椭圆，故k≠0，以(0，0)代入方程，得k2－10，选D． 4．已知三个平面α、β、γ，每两个之间的夹角都是θ，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c．若有 命题甲：θ； 命题乙：a、b、c相交于一点． 则[来源:学科网] A．甲是乙的充分条件但不必要 B．甲是乙的必要条件但不充分 C．甲是乙的充分必要条件 D．A、B、C都不对 5．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I表示所有直线的集合，M表示恰好通过1个整点的集合，N表示不通过任何整点的直线的集合，P表示通过无穷多个整点的直线的集合．那么表达式 ⑴ M∪N∪P=I； ⑵ N≠?． ⑶ M≠?． ⑷ P≠?中，正确的表达式的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】均正确，选D． 2．(+2)2n+1的展开式中，x的整数次幂的各项系数之和为 ． 【答案】(32n+1+1) 【解析】(+2)2n+1－(－2)2n+1=2(C2xn+C23xn－1+C25xn－2+…+C22n+1)． 令x=1，得所求系数和=(32n+1+1)． 3．在△ABC中，已知∠A=α，CD、BE分别是AB、AC上的高，则= ． 【答案】 【解析】△AED∽△ABC，==|cosα|． 4．甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，……直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程的种数为 ． 三．(15