【精选】1992考研数一真题及解析.doc

1992年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) (1) 设函数由方程确定,则____________. (2) 函数在点处的梯度____________. (3) 设则其以为周期的傅里叶级数在点处收敛于____________. (4) 微分方程的通解为____________. (5) 设,其中则矩阵的秩 ____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 当时,函数的极限 ( ) (A) 等于2 (B) 等于0 (C) 为 (D) 不存在但不为 (2) 级数(常数) ( ) (A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与有关 (3) 在曲线的所有切线中,与平面平行的切线 ( ) (A) 只有1条 (B) 只有2条 (C) 至少有3条 (D) 不存在 (4) 设,则使存在的最高阶数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (5) 要使都是线性方程组的解,只要系数矩阵为 ( ) (A) (B) (C) (D) 三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.) (1) 求 . (2) 设,其中具有二阶连续偏导数,求. (3) 设求. 四、(本题满分6分.) 求微分方程的通解. 五、(本题满分8分) 计算曲面积分,其中为上半球面的上侧. 六、(本题满分7分) 设,,证明对任何,有. 七、(本题满分8分) 在变力的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面 上第一卦限的点,问当取何值时,力所做的功最大?并求出的最大值. 八、(本题满分7分) 设向量组线性相关,向量组线性无关,问： (1) 能否由线性表出？证明你的结论. (2) 能否由线性表出？证明你的结论. 九、(本题满分7分) 设3阶矩阵的特征值为,对应的特征向量依次为 ,又向量, (1) 将用线性表出. (2) 求(为自然数). 十、填空题(本题满分6分,每小题3分.) (1) 已知,,,则事件、、 全不发生的概率为___________. (2) 设随机变量服从参数为1的指数分布,则数学期望___________. 十一、(本题满分6分) 设随机变量与独立,服从正态分布,服从上的均匀分布,试求的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数表示,其中 ). 1992年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】 【解析】函数是一个隐函数,即它是由一个方程确定,写不出具体的解析式. 方程两边对求导,将看做的函数,得.解出,即 . 【相关知识点】1.复合函数求导法则： 如果在点可导,而在点可导,则复合函数在点可导,且其导数为 或 . 2.两函数乘积的求导公式： . (2)【答案】 【解析】对函数求各个分量的偏导数,有 ；；. 由函数的梯度(向量)的定义,有 , 所以 . 【相关知识点】复合函数求导法则： 如果在点可导,而在点可导,则复合函数在点可导,且其导数为 或 . (3)【答案】 【解析】是区间的端点,由收敛性定理—狄利克雷充分条件知,该傅氏级数在处收敛于 . 【相关知识点】收敛性定理—狄利克雷充分条件： 函数在区间上满足：(i) 连续,或只有有限个第一类间断点；(ⅱ) 只有有限个极值点.则在上的傅里叶级数收敛,而且 (4)【答案】为任意常数 【解析】这是标准形式的一阶线性非齐次方程,由于,方程两边同乘,得 . 故通解为为任意常数. (5)【答案】1 【解析】因为矩阵中任何两行都成比例(第行与第行的比为),所以中的二阶子式全为0,又因,知道,中有一阶子式非零.故. 【相关知识点】矩阵秩的定义：如果矩阵中存在阶子式不为零,而所有的阶子式全为零时,则此矩阵的秩为. 二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D) 【解析】对于函数在给定点的极限是否存在需要判定左极限和右极限是否存在且相等,若相