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1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) _____________. (2) 曲面在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________. (3) 设,则在点处的值为_____________. (4) 设区域为,则_____________. (5) 已知,设,其中是的转置,则_________. 二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 设,,, 则 ( ) (A) (B) (C) (D) (2) 二元函数在点处两个偏导数、存在是在该点连续的 ( ) (A) 充分条件但非必要条件 (B) 必要条件而非充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 (3) 设常数,且级数收敛,则级数 ( ) (A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与有关 (4) ,其中,则必有 ( ) (A) (B) (C) (D) (5) 已知向量组线性无关,则向量组 ( ) (A) 、、、线性无关 (B) 、、、线性无关 (C) 、、、线性无关 (D) 、、、线性无关 三、(本题共3小题, 每小题5分,满分15分.) (1) 设 求、在的值. (2) 将函数展开成的幂级数. (3) 求. 四、(本题满分6分) 计算曲面积分,其中是由曲面及两平面 所围成立体表面的外侧. 五、(本题满分9分) 设具有二阶连续导数,,且 为一全微分方程,求及此全微分方程的通解. 六、(本题满分8分) 设在点的某一领域内具有二阶连续导数,且,证明级数 绝对收敛. 七、(本题满分6分) 已知点与的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段绕轴旋转一周所围成的旋转曲面为.求由及两平面所围成的立体体积. 八、(本题满分8分) 设四元线性齐次方程组为 又已知某线性齐次方程组的通解为 . (1) 求线性方程组的基础解系； (2) 问线性方程组和是否有非零公共解？若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由. 九、(本题满分6分) 设为阶非零方阵,是的伴随矩阵,是的转置矩阵,当时,证明 . 十、填空题(本题共2小题, 每小题3分,满分6分.) (1) 已知、两个事件满足条件,且,则__________. (2) 设相互独立的两个随机变量、具有同一分布律,且的分布律为 则随机变量的分布律为_______. 十一、(本题满分6分) 已知随机变量服从二维正态分布,且和分别服从正态分布和 ,与的相关系数,设, (1) 求的数学期望和方差； (2) 求与的相关系数； (3) 问与是否相互独立？为什么？ 1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】 【解析】原式变形后为“”型的极限未定式,又分子分母在点处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有 原式 . (由重要极限) (2)【答案】 【解析】所求平面的法向量为平行于所给曲面在点处法线方向的方向向量,取,又平面过已知点. 已知平面的法向量和过已知点可唯一确定这个平面： . 因点在曲面上.曲面方程. 曲面在该点的法向量 , 故切平面方程为 , 即 . (3)【答案】 【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,为了简化运算,所以本题可以先求,再求. , . (可边代值边计算,这样可以简化运算量.) 【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数都在点具有对及对的偏导数,函数在对应点具有连续偏导数,则复合函数 在点