【精选】1996年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题.doc

1996年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) (1) 设,则___________. (2) 设一平面经过原点及点(6,-3,2),且与平面垂直,则此平面方程为 ___________. (3) 微分方程的通解为___________. (4) 函数在点处沿点指向点方向的方向导数为___________. (5) 设是矩阵,且的秩,而,则___________. 二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 已知为某函数的全微分,则等于 ( ) (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 (2) 设有二阶连续导数,且,,则 ( ) (A) 是的极大值 (B) 是的极小值 (C) 是曲线的拐点 (D) 不是的极值,也不是曲线的拐点 (3) 设,且收敛,常数,则级数 ( ) (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 收敛性与有关 (4) 设有连续的导数,,,,且当 时,与是同阶无穷小,则等于 ( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (5) 四阶行列式的值等于 ( ) (A) (B) (C) (D) 三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.) (1) 求心形线的全长,其中是常数. (2) 设,,试证数列极限存在,并求此极限. 四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.) (1) 计算曲面积分,其中为有向曲面,其法向量与轴正向的夹角为锐角. (2) 设变换可把方程化简为,求常数,其中有二阶连续的偏导数. 五、(本题满分7分) 求级数的和. 六、(本题满分7分) 设对任意,曲线上点处的切线在轴上的截距等于 ,求的一般表达式. 七、(本题满分8分) 设在上具有二阶导数,且满足条件,,其中都是非负常数,是(0,1)内任一点,证明. 八、(本题满分6分) 设,其中是阶单位矩阵,是维非零列向量,是的转置,证明： (1) 的充要条件是；(2) 当时,是不可逆矩阵. 九、(本题满分8分) 已知二次型的秩为2. (1) 求参数及此二次型对应矩阵的特征值； (2) 指出方程表示何种二次曲面. 十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.) (1) 设工厂和工厂的产品的次品率分别为1%和 2%,现从由和的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属生产的概率是__________. (2) 设、是两个相互独立且均服从正态分布的随机变量,则随机变量 的数学期望__________. 十一、(本题满分6分.) 设、是相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知的分布律为, =1,2,3,又设,. (1) 写出二维随机变量的分布律： 1 2 3 1 2 3 (2) 求随机变量的数学期望. 1996年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) (1)【答案】 【解析】这是型未定式求极限. 方法一： , 令,则当时,, 则 , 即 . 由题设有,得. 方法二：, 由题设有,得. (2)【答案】 【解析】方法一：所求平面过原点与,其法向量；平面垂直于已知平面,它们的法向量也互相垂直：； 由此, . 取,则所求的平面方程为. 方法二：所求平面即为过原点,与两个不共线的向量(一个是从原点到点的向量,另一是平面的法向量)平行的平面, 即 ,即 . (3)【答案】 【解析】微分方程所对应的齐次微分方程的特征方程为 ,解之得.故对应齐次微分方程的解为. 由于非齐次项不是特征根,设所给非齐次方程的特解为,代入 得(也不难直接看出),故所求通解为 . 【相关知识点】① 二阶线性非齐次方程解的结构：设是二阶线性非齐次方程 的一个特解.是与之