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1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设方程确定是的函数,则___________. (2) 设,则___________.. (3) 设是抛物线上的一点,若在该点的切线过原点,则系数应满足的关系是___________. (4) 设 ,,, 其中.则线性方程组的解是___________. (5) 设由来自正态总体容量为9的简单随机样本,得样本均值,则未知参数的置信度为0.95的置信区间为___________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 累次积分可以写成 ( ) (A) (B) (C) (D) (2) 下述各选项正确的是 ( ) (A) 若和都收敛,则收敛 (B) 收敛,则与都收敛 (C) 若正项级数发散,则 (D) 若级数收敛,且,则级数也收敛 (3) 设阶矩阵非奇异(),是矩阵的伴随矩阵,则 ( ) (A) (B) (C) (D) (4) 设有任意两个维向量组和,若存在两组不全为零的数 和,使,则 ( ) (A) 和都线性相关 (B) 和都线性无关 (C) 线性无关 (D) 线性相关 (5) 已知且,则下列选项成立的是( ) (A) (B) (C) (D) 三、(本题满分6分) 设其中有二阶连续导数,且. (1)求； (2)讨论在上的连续性. 四、(本题满分6分) 设函数,方程确定是的函数,其中可微；,连续,且.求. 五、(本题满分6分) 计算. 六、(本题满分5分) 设在区间上可微,且满足条件.试证:存在使 七、(本题满分6分) 设某种商品的单价为时,售出的商品数量可以表示成,其中 均为正数,且. (1) 求在何范围变化时,使相应销售额增加或减少. (2) 要使销售额最大,商品单价应取何值?最大销售额是多少? 八、(本题满分6分) 求微分方程的通解. 九、(本题满分8分) 设矩阵. (1) 已知的一个特征值为3,试求； (2) 求矩阵,使为对角矩阵. 十、(本题满分8分) 设向量是齐次线性方程组的一个基础解系,向量不是方程组 的解,即.试证明:向量组线性无关. 十一、(本题满分7分) 假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周5个工作日里无故障,可获利润10万元；发生一次故障仍可获得利润5万元；发生两次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.求一周内期望利润是多少? 十二、(本题满分6分) 考虑一元二次方程,其中分别是将一枚色子(骰子)接连掷两次先后出现的点数.求该方程有实根的概率和有重根的概率. 十三、(本题满分6分) 假设是来自总体X的简单随机样本；已知. 证明：当充分大时,随机变量近似服从正态分布,并指出其分布参数. 1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) (1)【答案】 【解析】方法1：方程两边取对数得,再两边求微分, . 方法2：把变形得,然后两边求微分得 , 由此可得 (2)【答案】 【解析】由,两边求导数有 , 于是有 . (3)【答案】(或),任意 【解析】对两边求导得 所以过的切线方程为即 又题设知切线过原点,把代入上式,得 即 由于系数,所以,系数应满足的关系为(或),任意. (4)【答案】 【解析】因为是范德蒙行列式,由知.根据解与系数矩阵秩的关系,所以方程组有唯一解. 根据克莱姆法则,对于 , 易见 所以的解为,即. 【相关知识点】克莱姆法则：若线性非齐次方程组 或简记为 其系数行列式 , 则方程组有唯一解 其中是用常数项替换中第列所成的行列式,即 . (5)【答案】 【解析】可以用两种方法求解： (1)已知方差,对正态总体的数学期望进行估计,可根据 因,设有个样本,样本均值, 有,将其标准化,由公式得： 由正态分布分为点的定义可确定临界值, 进而确定相应的置信区间. (2)本题是在单个正态总体方差已知条件下,求期望值的置信区间问题. 由教材上已经求出的置信区间, 其中,可以直接得出答案. 方法1：由题设,,可