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1997年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.) (1) . (2) 设幂级数的收敛半径为3,则幂级数的收敛区间为 . (3) 对数螺线在点处的切线的直角坐标方程为 . (4) 设,为三阶非零矩阵,且,则 = . (5) 袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是 . 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 二元函数在点处 ( ) (A) 连续,偏导数存在 (B) 连续,偏导数不存在 (C) 不连续,偏导数存在 (D) 不连续,偏导数不存在 (2) 设在区间上令, ,则 ( ) (A) (B) (C) (D) (3) 则 ( ) (A) 为正常数 (B) 为负常数 (C) 恒为零 (D) 不为常数 (4) 设则三条直线,, (其中)交于一点的充要条件是 ( ) (A) 线性相关 (B) 线性无关 (C) 秩秩 (D) 线性相关,线性无关 (5) 设两个相互独立的随机变量和的方差分别为4和2,则随机变量的方差是 ( ) (A) 8 (B) 16 (C) 28 (D) 44 三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.) (1) 计算其中为平面曲线绕轴旋转一周形成的曲面与平面所围成的区域. (2) 计算曲线积分,其中是曲线从 轴正向往轴负向看,的方向是顺时针的. (3) 在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的.设该人群的总人数为,在时刻已掌握新技术的人数为,在任意时刻已掌握新技术的人数为(将视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数求. 四、(本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题7分,满分13分.) (1) 设直线在平面上,且平面与曲面相切于点,求之值. (2) 设函数具有二阶连续导数,而满足方程,求. 五、(本题满分6分) 设连续,且(为常数),求并讨论在处的连续性. 六、(本题满分8分) 设证明： (1) 存在； (2) 级数收敛. 七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分.) (1) 设是秩为2的矩阵,是齐次线性方程组的解向量,求的解空间的一个标准正交基. (2) 已知是矩阵的一个特征向量. (Ⅰ) 试确定参数及特征向量所对应的特征值； (Ⅱ) 问能否相似于对角阵？说明理由. 八、(本题满分5分) 设是阶可逆方阵,将的第行和第行对换后得到的矩阵记为. (1) 证明可逆； (2) 求. 九、(本题满分7分) 从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是.设为途中遇到红灯的次数,求随机变量的分布律、分布函数和数学期望. 十、(本题满分5分) 设总体的概率密度为 其中是未知参数.是来自总体的一个容量为的简单随机样本,分别用矩估计法和最大似然估计法求的估计量. 1997年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.) (1)【答案】 【分析】这是型极限.注意两个特殊极限. 【解析】将原式的分子、分母同除以,得 评注：使用洛必达法则的条件中有一项是应存在或为,而本题中, 极限不存在,也不为,不满足使用洛必达法则的条件,故本题不能用洛必达法则. 【相关知识点】1.有界量乘以无穷小量为无穷小量. (2)【答案】 【解析】考察这两个幂级数的关系.令,则 . 由于逐项求导后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径,的收敛半径为3 的收敛半径为3.从而的收敛半径为3,收敛区间即(-3,3),回到原幂级数,它的收敛区间为,即. 评注：幂级数的收敛区间指的是开