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【精选】1997年数学一试题答案与解析
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1997 年数学一试题分析
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一、 填空题
2 1
3sin x +x cos
（1）lim x =
x →0 1+cosx ln 1+x
( ) ( )
3
答 应填 .
2
分析 当x →0 时， 1+cosx ln 1+x ∼ 2x ,
( ) ( )
2 1
3sin x +x cos
3 sin x 1 1
故原式=lim x = lim +lim x cos ,
x →0 2x 2 x →0 x x →0 2 x
3 sin x 3
对于第一个极限，显然 lim = ；
2 x →0 x 2
对于第二个极限，是有界函数乘无穷小量仍是无穷小量，故
1 1
lim x cos =0
x →0 2 x
3
因而原式= .
2
∞ ∞
（ n n+1
2 ）设幂级数 a x 的收敛半径为 3 ，则幂级数 na x −1 的收敛区间为
∑ n ∑ n ( )
n=0 n=1
答 应填 −2, 4 .
( )
∞ ∞
分析 令y =x −1, 则 na x −1 n+1 = na yn+1 ,
∑ n ( ) ∑ n
n=1 n=1
n +1 a a
( ) n+1 n+1
ρ=lim =lim .
n→∞ na n→∞ a
n n
∞
故幂级数∑na yn+1 与幂级数有相同的收敛半径，即 y 3, 所以−2 x 4
n
n=1
⎛ π ⎞
θ ⎜ 2 π⎟⎟
（3 ）对数螺线ρ=e 在点 ρθ = 处的切线的直角坐标方程为
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