【精选】19讲：ch6-5(高斯求积).ppt

第五节 高斯型求积公式 高斯型求积公式 一、 梯形求积公式和抛物线求积公式 二、 Gauss型求积 主要内容 数值求积公式提高精度的方法 1、增加节点的个数。 2、适当选取 如复化梯形公式，复化辛普森公式 如高斯公式 高斯型求积公式 考察两个节点的求积公式： 具有一次代数精度 具有三次代数精度 高斯求积的一般理论 提示： 有n个节点的求积公式 最高可具有2n-1次代数精度。 这类求积公式就是高斯求积公式。 定义： 高斯求积 面临的问题： 哪些节点是高斯点？各节点 对应的系数是多少？ 分析： 此方程组为非线性方程组，求解十分困难。 高斯求积 定理： 插值型求积公式 证明： 必要性： 高斯求积定理 充分性： 高斯求积定理 系数行列式为范德蒙行列式，方程组有唯一解。 以此方程组的解为求积系数的求积公式对任意至多n-1次多项式精确成立。 高斯求积定理 证毕 结论： 高斯求积公式 定理： 来源于埃尔米特插值的余项 高斯求积公式的误差 　　1.Gauss - Legendre 求积公式 　 　　　　　　　　　　　　　　　 (1) 　其中高斯点为Legendre多项式的零点 　对于一般有限区间[a,b]，用线性变换x=(a+b)/2+(b-a)t/2使它变成为[-1,1]。 几种常用的高斯求积公式 计算相应的系数，就可得到高斯求积公式： 高斯求积公式 具有三次代数精度 具有五次代数精度 高斯求积公式 解： 用三个节点的高斯—勒让德公式 用Gauss型求积公式计算积分近似值时，Gauss点与求积系数都是预先给出的，见p175表 例1 用高斯—勒让德求积公式计算 使其具有五次代数精度。 例1 例 题 1 解：作变换 若用n=2的Gauss-Legendre公式，则 求积分 的近似值。 例2 例 题 2 若用n=3的Gauss-Legendre公式，则 例 题 2 2.Gauss - Chebyshev 求积公式 其中高斯点为Chebyshev 多项式Tn(x)的零点 Tn(x)=cos(narccos(x)) 高斯求积公式 　3.Gauss - Laguerre 求积公式 高斯求积公式 4 .Gauss - Hermite 求积公式 高斯求积公式 分别用不同方法计算如下积分,并做比较 各种做法比较如下： 一、Newton-Cotes公式 当n=1时，即用梯形公式， 当n=2时, 即用Simpson公式, 当n=3时, I=0.9461090 当n=4时, I=0.9460830 当n=5时, I=0.9460831 例 题 3 二:用复化梯形公式 令h=1/8=0.125 三：用复化抛物线公式 令h=1/8=0.125 例 题 3 四、 Romberg公式 K Tn Sn Cn Rn 0 0.9207355 1 0.9397933 0.9461459 2 0.9445135 0.9460869 0.9400830 3 0.9456906 0.9460833 0.9460831 0.9460831 例 题 3 五、Gauss公式 令x=(t+1)/2, 用2个节点的Gauss公式 用3个节点的Gauss公式 例 题 3 此例题的精确值为0.9460831... 由例题的各种算法可知： 对Newton-cotes公式，当n=1时只有1位有效数字，当n=2时有3位有效数字，当n=5时有7位有效数字。 对复化梯形公式有2位有效数字，对复化抛物线公式有6位有效数字。 用复化梯形公式，对积分区间[0，1]二分了11次用2049个函数值，才可得到7位准确数字。 用Romberg公式对区间二分3次，用了9个函数值，得到同样的结果。 用Gauss公式仅用了3个函数值，就得到结果。 各种方法的比较 1：梯形求积公式和抛物线求积公式是低精度的方法，但对于光滑性较差的函数有时比用高精度方法能得到更好的效果。复化梯形公式和抛物线求积公式，精度较高，计算较简，使用非常广泛。 2：Romberg求积方法，算法简单，当节点加密提高积分近似程度时，前面的计算结果可以为后面的计算使用，因此，对减少计算量很有好处。并有比较简单的误差估计方法。 3：Gauss型求积，它的节点是不规则的，所以当 节点增加时，前面的计算的函数值不能被后面利 用。计算过程比较麻烦，但精度高，特别是对计 算无穷区间上的积分和广义积分，则是其他方法 所不能比的。 本节小结