【精选】2-Rolle定理.ppt

第三章 2. 设 3. 若 微分中值定理 及其应用 3.2 罗尔中值定理及其应用 Rolle定理 若函数 f (x) 满足： 证 罗尔(Rolle)定理 看作是结论中的点 ? ; 于是 ? 由Fermat 引理可知 所以定存在 使得 在定理条件下，曲线上 处的切线平行与 x 轴. 在两端点之间， 至少有一点 Rolle定理的几何意义 注意:(1) 定理的三条件中的任一条件不被满足时, 都可能导致结论不成立, 例如 又例如, (2) 定理的条件是充分的、非必要. 在[1, e]不满足定理条件(3); 例 证 零点定理 即为方程的小于1的正实根. (1) 存在性 微分中值定理 (2) 唯一性 满足罗尔定理的条件. 微分中值定理 矛盾, 故假设不真! 例 (方程根的讨论) 设 且在(a, b)内二阶可导, 又f (a) = f (b) = f (c), 证明存在 使得 证 所给条件使得可以在区间 和 上两次使用Rolle定理，即 又因 f 在(a, b)内二阶可导, 故 在 上连续， 在 可导 ? 且由 再使用Rolle定理，知 使得 两种常用的构造辅助函数的方法： 1. 常数k 法构造函数 基本思路是令待证等式中的常数为k， 通过 恒等变形将含有的式子写成 的形式， 然后用罗尔定理 则 就是需要的辅助函数, 进行证明. 例4 设 分析 证 令 罗尔定理, 整理得 使得 故 即 2. 通过对待证等式的恒等变形寻找辅助函数 然后再观察所得函数是哪个函数的导数，这个函数 就是我们需要的辅助函数. 因为等式中出现的中值 一定是对某个函数 使用中值定理得到的, 因此, 可以首先把 还原为 x， 如果待证等式出现 的形式， 则可以考虑形如 的辅助函数. 问题转化为证 设辅助函数 在[0, 1]上用罗尔定理, 使得 即有 例5 设 证 分析: 且在 内可导, 证明至少存 在一点 使 提示: 由结论可知, 只需证 即 验证 在 上满足罗尔定理条件. 设 机动 目录 上页 下页 返回 结束 可导, 试证在其两个零点间一定有 的零点. 提示: 设 欲证: 使 只要证 亦即 作辅助函数 验证 在 上满足 罗尔定理条件. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业 习题3.2 (116页) 3. 6. 7.(1) 微分中值定理 * *