【精选】2007-2011年辽宁高考理科数学的20、21题及答案.doc

2007 20．（本小题满分14分） 已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆是的内接圆（点为圆心） （I）求圆的方程； （II）设圆的方程为，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值． 21．（本小题满分12分） 已知数列，与函数，，满足条件： ，. （I）若，，，存在，求的取值范围； （II）若函数为上的增函数，，，，证明对任意，（用表示）． 2008 20．（本小题满分12分） 在直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为，直线与C交于A，B两点． （Ⅰ）写出C的方程； （Ⅱ）若，求k的值； （Ⅲ）若点A在第一象限，证明：当k0时，恒有||||．21．（本小题满分12分） 在数列，中，a1=2，b=4，且成等差数列，成等比数列（） （Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论； （Ⅱ）证明：． 2010 (20)（本小题满分12分） 设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,. 求椭圆C的离心率； 如果|AB|=，求椭圆C的方程. （21）（本小题满分12分） 已知函数 （I）讨论函数的单调性； （II）设.如果对任意，，求的取值范围。 2011 （20）（本小题满分12分） 如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D。 （I）设，求与的比值； （II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由 (21)(本小题满分12分) 已知函数f（x）=lnx-ax2=（2-a）x. (I)讨论f（x）的单调性； （II）设a＞0，证明：当0＜x＜时，f（+x）＞f（-x）； （III）若函数y=f（x）的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f’（ x0）＜0. 答案 2007 (20)本小题主要考查平面向量,圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识,考查综合运用解析几何知识解决问题的能力.满分14分. (Ⅰ)解法一:设A、B两点坐标分别为，由题设知 解得 所以 设圆心C的坐标为（r,0），则因此圆C的方程为 4分 解法二：设A、B两点坐标分别为由题设知. 又因为即 由x1＞0，x2＞0，可知x1=x2，故A、B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上. 设C点的坐标为（r,0），则A点坐标为，于是有， 解得r=4,所以圆C的方程为 4分 (Ⅱ)解：设∠ECF=2a,则 . 8分 在Rt△PCE中,.由圆的几何性质得 ≤≥ 10分 所以≤≤，由此可得≤≤. 故的最大值为，最小值为. 14分 （21）本小题主要考查数列的定义，数列的递推公式，等比数列，函数，不等式等基础知识，考查数学归纳法解法问题的能力.满分12分. (Ⅰ)解法一：由题设知得，又已知, 可得 由 其首项为.于是 又liman存在，可得0＜＜1,所以-2＜t＜2且 解法二.由题设知tbn+1=2bn+1,且可得 由可知, 所以是首项为,公的等比数列. 由 可知，若存在，则存在. 于是可得0＜＜1,所以-1＜t.=2 解法三:由题设知tbn+1=2bn+1,即① 于是有② ②-①得 由， 所以是首项为b公比为的等比数列，于是 （b2-b1）+2b. 又存在，可得0＜＜1,所以-2＜t＜2且 说明：数列通项公式的求法和结果的表达形式均不唯一，其他过程和结果参照以标准. (Ⅱ)证明：因为. 下面用数学归纳法证明＜. (1)当n=1时，由f(x)为增函数,且＜1,得＜1 ＜1 ＜，即＜，结论成立. （2）假设n=k时结论成立，即＜.由f(x)为增函数，得 ＜f即＜进而得＜f()即＜. 这就是说当n=k+1时，结论也成立. 根据（1）和（2）可知，对任意的，＜. 2008 20．本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分12分． 解： （Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴， 故曲线C的方程为． 3分 （Ⅱ）设，其坐标满足 消去y并整理得， 故． 5分 若，即． 而， 于是， 化简得，所以． 8分 （Ⅲ） ． 因为A在第一象限，故．由知，从而．又， 故， 即在题设条件下，恒有． 12分 21．本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．