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12 中 等 数 学 赛题新解 2007 年全国高中数学联赛加试题另解 　　第一题 　在锐角 △ABC 中 ,AB AC ,AD sin ∠PCD sin ∠CAD sin ∠PB F · · = 1. 是边BC 上的高 , P 是线段AD 内一点 ,过 P sin ∠PCE sin ∠BAD sin ∠PBD 作 PE ⊥AC ,垂足为 E ,作 PF ⊥AB ,垂足为 所以,sin ∠PCD = sin ∠BAD ③ sin ∠PBD sin ∠CAD F , O1 、O2 分别是 △BDF 、△CDE 的外心. 求 为定值. 证 : O1 、O2 、E 、F 四点共圆的充要条件为 P 2 PD 是 △ABC 的垂心. 2 2 2 sin ∠PCD PC PB 又 2 = 2 = 2 注 : 以下只给出必要性的证明. sin ∠PBD PD PC 2 证 法 1 : 如 图 PB 2 2 2 2 1 , 联 结 B P 、CP 、 BD + DP BD - CD = 2 2 = 1 + 2 2 , CD + DP CD + DP O O 、EO 、EF 、FO . 1 2 2 1 则 BD2 - DC2 因为 PD ⊥BC , PF ⊥AB ,所 以, B 、D 、 = ( BD2 + AD2 ) - ( DC2 + AD2 ) 2 2 P 、F 四点共圆. 则 = AB - AC 0 O1 是 △BDP 的外 图 1