D2_1数列极限课件.ppt

第 2 章 极限与连续性 § 2 . 1 数 列 的 极 限 2 . 1 . 1 问题的引入 2. 1. 2 数 列 的 概 念 例如 ： 例如 ： 对于用数列所描述的实际问题而言， 如对于通项为： 完全类似地， 2. 1. 3 数列极限的定义 例 如： 例 1. 例 2. 例 3. 例 4 . 注 明： 例 5. 2. 1. 4 收敛数列的性质 再证唯一性： 定理 2 （保序性） 说明: 推论 2 （保号性） 例 6. 定 理（四则运算法则） 推论： 例 7. 2.1.5 子 列·上(下)确界 定理： 充分性： 推 论： 2. 实数集的确界与确界原理 定义： 定理： 定理（确界唯一性） 2. 1.6 收 敛 原 理 证 明： 例 8. 根据准则Ⅱ可知数列 例9. 例 10 . *2. 柯西极限存在准则(柯西审敛原理) 内容小结 思考与练习 作业 刘徽(约225 – 295年) 柯西(1789 – 1857) 设 E 为一非空实数集， 若实数β是 E 的一个上界， 且对于E 的任一上界 都有 则称实数 记作： 若实数α是 E 的一个下界， 且对于E 的任一下界 都有 则称实数α为数集 E 的下确界， 记作： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 为数集 E 的 上确界, 确界公理： 任一非空的上 有界的实数集必有上 确界。 由确界定义可知， 实数集 E 的上确界，其实是其最小的上界； 而且由实数理论可以证明下面的结论： 而下确界就是它最大的下界。 显然， 任一有下 界的实数集也必有无穷多个下界。 任一有上界的实数集必有无穷多个上界； (下) (下) 设 E 是一非空的实数集， 的充要条件是： （既β为集合 E 的一个上界）； （既β 具有最小性）。 用反证法证ⅱ）： 先证必要性 使得 设 证 ： 由上确界的定义知ⅰ)成立； 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若对某个给定的 这表明 矛盾。 再证充分性 这与 由ⅰ) 知β是 E 的一个上界， 都有 成立， 为集合 E 的一个上界， 若 必存在着 使得 必有 成立； 取 显然 这与条件ⅱ）矛盾。 以及 定理的条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证： ⅰ） 也就是说 若实数集 E 有上 确界， ⅱ） ⅲ） 若ⅰ）成立， 是 E 的比 更小的上界， 这与 是数集 E 的上确界矛盾， 从而ⅰ）不成立； 完全类似的可证ⅱ）也不成立； 故只有 ⅲ）成立， 设两实数： 均为实数集 E 的上确界， 由实数的性质， 必有： 即实数集E的确界必唯一。 若规定： 无上界的实数集的上确界为： 无下界的实数集 的下确界为 由此得： 实数集的确界定理： 任一非空的实数集必有确界。 则其上 确界必唯一。 （下） （下） 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定 理 ： 单调有界数列必收敛 。( P32 ) ⅰ）若 ⅱ）若 1.单调有界收敛原理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设数列 是一单调不减且上有界的， 显然由数列 因此有： 所构成的实数集是上有界的， 必有一项 满足： 即 又因为 时， 当 的单调不减性， 时， 即当 有 同理可证单调不增且下有界的数列也必收敛。 上确界 由确界原理知其必有 有 有 证明数列 收敛 。 ( P32 例 7 ) 证: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由此可见数列 是单调增(不减)的； 利用不等式( n 个正数的几何平均小于其算术平均)， 得 设数列的通项为： 项相乘 项相加 此极限记为 e , e 为无理数 , 其值为： 即 收敛 。 原题 目录 上页 下页 返回 结束 又 由单调有界收敛原理得该极限收敛， 设 且 计算该数列的极限 解 ： 不妨设 则由递推公式有: ∴数列为单调递减且下有界， 从而得: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 为常数, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 显然 为常数， 即 为单调不减的数列， 又 收敛。 “拆项相消” 法 设 试证明通项为： 所构成的数列收敛。 数列 极限收敛的充要条件是: 存在正整数 N , 使当 时, 证: “必要性”. 设 则 时, 有 使当 因此 “充分性” 证明从略 . 有 柯西 目录 上页 下页 返回 结束 1. 数列极限的 “ ? – N ” 定义及应用 2. 收敛数列的性质: 唯一性 ; 有界性 ; 保号性; 任